Punto di aderenza

In topologia generale, un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico è un punto che contiene punti "arbitrariamente vicini" di questo sottospazio. Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.

DefinizioneModifica

Un punto   è aderente ad   se e solo se, comunque si prenda un intorno dell'elemento  , l'intersezione dell'intorno con l'insieme   è sempre non vuota.

Ovvero,   è un punto di aderenza per   se e solo se   è un punto di accumulazione per   o è un punto isolato di  .

Spazi topologiciModifica

Un punto   appartenente ad uno spazio topologico   è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme   di   se ogni aperto contenente   interseca  . In simboli:

 

Spazi metriciModifica

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

 

dove con   si indica la palla di raggio   e centro  . Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di  .

Differenza con i punti di accumulazioneModifica

Tutti i punti di accumulazione di   sono anche aderenti ma non è valido il viceversa. Non è richiesto infatti che ogni intorno di   intersechi   in punti diversi da  . L'intersezione non vuota può essere garantita dallo stesso punto, purché appartenente a  .

Ne consegue che tutti i punti di   sono aderenti in  , anche quando non sono di accumulazione. In tale ultimo caso si parla di punti isolati.

Chiusura di un insiemeModifica

L'insieme dei punti di aderenza di   è detto chiusura (o aderenza) di  .

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica