Corpo rigido

oggetto materiale le cui parti sono soggette al vincolo di rigidità
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In fisica, un corpo rigido è un oggetto materiale le cui parti sono soggette al vincolo di rigidità, ossia è un corpo che sia quando è fermo sia quando cambia posizione non si deforma mai. Dal punto di vista della teoria dell'elasticità un corpo è rigido se costituito da un materiale che ha modulo di Young teoricamente infinito.

Descrizione

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Il vincolo di rigidità è un vincolo di posizione bilaterale ed indipendente dal tempo; esso fa sì che le mutue distanze fra due punti qualunque del sistema restino invariate in ogni istante. Scelti due punti qualunque   e   appartenenti al corpo rigido e la loro distanza  , il vincolo di rigidità è analiticamente espresso dalla relazione:

 

Affinché un sistema abbia un moto rigido è necessario e sufficiente che le velocità simultanee di due suoi punti qualsiasi abbiano la stessa componente lungo la loro congiungente, e questo deve essere vero per ogni coppia di punti del sistema.

Per descrivere lo spostamento rigido nello spazio occorrono 6 gradi di libertà, con tre componenti della traslazione e tre componenti della rotazione. Infatti, definita la "forma" del corpo rigido, ad ogni istante la sua posizione è individuabile da sei valori, come:

  • tre coordinate di posizione di uno degli   punti del corpo rigido (in totale si hanno   coordinate), le altre   coordinate degli   punti del corpo rigido sono univocamente determinate dai vincoli;
  • tre coseni direttori di rotazione intorno agli assi   solidali al corpo.

È inoltre utile, per semplicità, introdurre l’ipotesi di piccoli spostamenti, per cui si ha che  .

Il moto di un corpo rigido si definisce moto rigido piano quando, considerato un piano solidale al corpo e con giacitura iniziale  , questo si mantiene durante il moto costantemente sovrapposto ad un piano fisso anch'esso di giacitura  ; ovvero tutti i punti appartenenti al corpo rigido seguono le stesse leggi temporali di moto su piani paralleli.

Due corpi rigidi vincolati a strisciare l'uno sull'altro su una superficie solidale ad entrambi si dicono costituire una coppia cinematica.

Cinematica del corpo rigido

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La traslazione di un corpo rigido si riconduce allo studio della cinematica dei sistemi, introducendo il concetto di centro di massa e considerando il corpo come un sistema continuo.

Dato un sistema di riferimento assoluto (o fisso) formato dalla terna di versori trirettangola levogira   centrata in   e un sistema di riferimento solidale al corpo rigido con terna   centrata in  , il moto di un corpo può essere descritto tenendo in conto due contributi distinti: quello dovuto alla sua traslazione e quello legato alla rotazione rispetto ad un asse passante per almeno un punto del corpo; esso infatti è perfettamente determinato dalla conoscenza della variazione lineare e di quella angolare del moto del corpo rispetto ad un punto generico dell'asse di rotazione. Lo spostamento assoluto   di un generico punto   del corpo, la cui distanza da   è indicata dal vettore  , è dato da:

 

dove   è il vettore angolo di rotazione, con direzione parallela all'asse di rotazione e verso dato dalla regola della vite. Esprimendo quest'ultima relazione sotto forma di sistema lineare si ha:

 

Che può essere riscritta come relazione tensoriale:

 

dove   è il tensore di rotazione rigida. La velocità di rotazione può essere definita attraverso il vettore velocità angolare:

 

esso è diretto parallelamente all'asse di rotazione con verso definito dalla regola della vite. Allora la velocità di un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione è:

 

La variazione della velocità angolare ci dice che un punto qualsiasi del corpo rispetto all'asse di rotazione subisce un'accelerazione angolare:

 

Le componenti della velocità assoluta di un punto del corpo sugli assi mobili   sono date proiettando allora il teorema delle velocità relative:

 

Chiamando   la velocità assoluta di traslazione del centro delle velocità  e   la velocità angolare, le quali hanno componenti sui tre assi di rotazione mobili , si ha che i valori   sono detti parametri del moto rigido. Pertanto, il sistema che si ottiene è:

 

Che può essere riscritta come relazione tensoriale:

 

dove   è il tensore di velocità angolare. Lo stesso punto subisce un'accelerazione data da:

 

dove il termine   rappresenta l'accelerazione tangenziale, diretta nello stesso verso della velocità tangenziale  , che ne è anche responsabile della variazione in modulo di quest'ultima, mentre il secondo termine   rappresenta l'accelerazione radiale diretta verso il centro della circonferenza, ed è responsabile della variazione in direzione della velocità tangenziale. In definitiva:

 

dove   e   sono rispettivamente i versori associati alla direzione tangente ed alla direzione radiale della circonferenza descritta dal moto del corpo.

Dinamica del corpo rigido

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni cardinali della dinamica.

Per quanto riguarda la parte dinamica del moto di un corpo rigido, sappiamo che un sistema continuo è soggetto alle equazioni cardinali della dinamica

 

dove si introduce il concetto del centro di massa a cui si riferiscono le grandezze associate. A partire da queste equazioni si determina perfettamente la dinamica del corpo rigido. Un corpo rigido è isolato se

 

e queste equazioni introducono le leggi di conservazione e fanno parte di una branca della meccanica newtoniana detta statica.

Per quanto riguarda la parte energetica del moto di un corpo rigido, l'energia cinetica   ha il contributo dell'energia cinetica traslazionale   e di quella rotazionale   in generale, per un moto piano, date da

 

dove   è il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse perpendicolare al piano del moto e passante per il centro di massa, mentre   è la velocità del centro di massa. Si tenga conto anche del fatto che vale il teorema di Huygens-Steiner e il lavoro delle forze interne di un corpo rigido è per il terzo principio della dinamica nullo. Si noti che se il corpo ruota attorno a un asse   non baricentrico, se si indica con   la distanza del baricentro dall'asse di rotazione, si ottiene

 

essendo   il momento d'inerzia rispetto all'asse di rotazione  .

Sono moti rigidi piani quelli in cui il corpo ruota intorno ad un asse fisso e il moto di puro rotolamento, il moto del pendolo composto e quello della trottola.

Voci correlate

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