Costruzione di Poinsot

La costruzione di Poinsot, dal nome del matematico e fisico francese Louis Poinsot, è un metodo geometrico per descrivere la dinamica rotazionale di un corpo rigido in assenza di momenti esterni. Tale costruzione evidenzia l'analogia tra la rotazione fisica del corpo in esame e quella di un ellissoide che rotola senza strisciare su una superficie tangente.

L'ellissoide di PoinsotModifica

L'ellissoide d'inerzia di un corpo rigido può essere scritto attraverso la forma quadratica

 

dove   è il tensore d'inerzia del corpo.

Si consideri ora un piano   tangente all'ellissoide.

L'energia cinetica rotazionale, anch'essa conservata, può essere invece scritta nella seguente maniera:

 

dove   è la velocità angolare di rotazione del corpo.

Confrontando le due espressioni, si ottiene

 

Inoltre,   è ortogonale al vettore momento angolare del corpo. Infatti

 

dove si è fatto uso della ben nota relazione  .

Dunque, essendo il gradiente dell'ellissoide normale al piano tangente nel punto   e parallelo al momento angolare, segue che   è ortogonale a  .

Ora, la distanza   del centro di massa dal piano tangente è uguale alla proiezione della distanza tra il centro e il punto di tangenza lungo il vettore momento angolare ed è quindi data dal prodotto scalare

 

In virtù della conservazione dell'energia e del momento angolare, tale quantità rimane costante durante il moto, quindi il piano   è fisso.

Infine, il punto di tangenza si trova sull'asse di rotazione, quindi ha velocità nulla. Pertanto l'ellissoide rotola senza strisciare.

Le curve descritte dal punto di tangenza sull'ellissoide e sul piano possono essere utilizzate per parametrizzare la dinamica del corpo rigido. In particolare, il moto può essere descritto da due coordinate curvilinee associate a tali traiettorie.

Il moto è periodico se l'angolo descritto dal punto di tangenza sul piano nel tempo necessario a compiere un intero giro dell'ellissoide è commensurabile con  

Costruzione dell'ellissoideModifica

Consideriamo un punto   qualsiasi all'interno di un corpo rigido, ed assumiamo un sistema di riferimento con tre assi ( ) in  , solidali al corpo.

Il versore   dell'asse di rotazione si ottiene

 

Dove   sono i coseni direttori dell'asse.

Prendiamo un punto   del corpo distante   da  

 

e consideriamo la sua distanza   dall'asse di rotazione

 

Allora il momento di inerzia   del corpo rispetto all'asse di rotazione sarà

 
 

dove

  ;   ;  

sono, rispettivamente, i momenti di inerzia rispetto all'asse   ,   e  ; mentre

  ;   ;  

vengono detti prodotti di inerzia.

Adesso consideriamo la distanza   sull'asse di rotazione, le coordinate saranno date da

  ;   ;  

Andando a sostituire le coordinate nel momento di inerzia otteniamo come risultato finale

 

che corrisponde ad un ellissoide nella spazio, con centro nel punto  .

Grazie a questo ellissoide è possibile calcolare il momento di inerzia di un qualsiasi asse di rotazione rispetto ad un punto   del corpo, indipendentemente dalla forma o dalla distribuzione della massa. Prendendo la retta di un asse di rotazione passante per   e calcolando la distanza da   all'intersezione con la conica otteniamo  , dove   sarà proprio il momento di inerzia per quell'asse.

BibliografiaModifica

  • Vladimir Igorevič Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Roma, Editori Riuniti University Press, 2010, pp. 145–148.
  • Paolo Mazzoldi, Massimo Nigro e Cesare Voci, Fisica - Volume I, 2ª ed., EdiSES, ISBN 88-7959-137-1.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

[1] Un simulatore 3d della dinamica del corpo rigido. È possibile visualizzare l'ellissoide di Poinsot con le relative traiettorie.