Coordinate baricentriche

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In matematica le coordinate baricentriche sono una forma di coordinate omogenee definite dai vertici di un simplesso introdotte nel 1827 da August Ferdinand Möbius. Possono essere definite in uno spazio euclideo, o in un più generale spazio vettoriale o affine. In uno spazio affine prendono anche il nome di coordinate affini.

DefinizioneModifica

In uno spazio vettorialeModifica

Siano   vertici di un simplesso in uno spazio vettoriale di dimensione   (ad esempio i tre vertici di un triangolo in uno spazio a due dimensioni). Un punto   del simplesso ha coordinate baricentriche

 

se vale la relazione

 

Affinché questa relazione abbia senso, è quindi necessario che la somma dei   sia diversa da zero. Le coordinate baricentriche non sono univoche: se   sono le coordinate baricentriche di un punto  , anche   lo saranno per ogni   diverso da zero. Le coordinate diventano univoche se si impone la relazione

 

Dotando il vertice   di una massa positiva  , il punto   risulta effettivamente essere il baricentro dei vertici pesati, da cui il nome.

In uno spazio affineModifica

Siano   vertici di un simplesso in uno spazio affine di dimensione  . Siano   tali che

 

Il punto   di coordinate baricentriche (o affini)

 

è il punto

 

dove   è un qualsiasi punto del piano (il risultato non dipende da questa scelta).

ProprietàModifica

I vertici del simplesso hanno coordinate

 

I punti aventi coordinate non negative   sono precisamente i punti del simplesso, che è l'inviluppo convesso dei suoi vertici. I punti aventi coordinate strettamente positive   sono i punti interni del simplesso.

Le facce del simplesso sono ottenute ponendo alcune coordinate uguali a zero. Ad esempio, i tre lati del triangolo sono contenuti in tre rette, descritte in coordinate baricentriche dalle equazioni

 

Le coordinate baricentriche in 2 dimensioniModifica

 
Coordinate baricentriche di alcuni punti di un triangolo

Il caso più semplice di applicazione delle coordinate baricentriche si ha in 2 dimensioni dove il simplesso è un triangolo. Se chiamiamo i vertici di questo triangolo x1, x2 e x3 allora ogni punto r può essere scritto in funzione delle coordinate baricentriche λ1, λ2 e λ3 come

 .

Per eliminare l'indeterminazione sulle coordinate baricentriche possiamo introdurre la condizione di normalizzazione

 

ovvero

 .

A questo punto possiamo invertire il problema, ovvero ricavare il valore delle coordinate baricentriche sapendo la posizione del punto in coordinate cartesiane. Infatti possiamo sviluppare la posizione in coordinate cartesiane del punto   in funzione delle coordinate dei vertici del triangolo

 .

Facendo la sostituzione

 

si ha quindi

 

e quindi

 .

Risolvendo questo sistema lineare si ottiene

 

e

 

dove

 

che completa l'inversione del problema.

Le coordinate baricentriche nella grafica digitaleModifica

Le coordinate baricentriche trovano una larga applicazione nel campo della grafica digitale. Ad esempio un metodo utilizzato per sfumare i colori su di un poligono (shading) in modo da nascondere la loro forma "piatta" è quella del Gouraud shading dove l'intensità luminosa viene calcolata ai vertici di un triangolo e poi effettuando una interpolazione lineare tramite le coordinate baricentriche su tutta la superficie.

Un'altra applicazione è quella di generalizzare le coordinate baricentriche non solo ai simplessi ma anche a poligoni generici e di definire le coordinate di ogni punto di un modello 3D tramite le coordinate baricentriche riferite ai vertici del poligono. In questo caso il poligono forma una sorta di "gabbia" attorno al modello e, deformando il poligono, si ottengono deformazioni morbide del modello al suo interno.

Voci correlateModifica

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