Normalizzazione (matematica)

procedimento di dividere i termini di un'espressione in modo che l'espressione risultante abbia norma pari a 1

In matematica per normalizzazione si intende il procedimento di dividere tutti i termini di un'espressione per uno stesso fattore in modo che l'espressione risultante abbia una certa norma uguale a 1.

Normalizzazione in uno spazio vettoriale modifica

In uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e di norma si chiama normalizzazione il procedimento che dato un vettore lo porta ad avere norma unitaria.

Una situazione comune in cui si utilizza questo procedimento è nella costruzione di una base ortonormale (o sistema ortonormale, s.o.n.) dello spazio vettoriale. Supponiamo di essere in uno spazio vettoriale di dimensione   e di conoscere già una base completa di vettori che siano tra loro ortogonali; siamo cioè nel caso in cui gli   vettori componenti dell'insieme

 

costituiscono una base ortogonale.

Per ottenere una base ortonormale, basta prendere singolarmente ciascuno di questi   vettori e dividerli ciascuno per il valore della propria norma (si noti che si tratta di una divisione per uno scalare, perché la norma di un vettore è uno scalare).

 

ognuno dei vettori   così ottenuti avrà norma unitaria (sarà quindi anche un versore). Inoltre, questi vettori saranno tra loro ortogonali. Pertanto l'insieme

 

costituisce una base ortonormale dello spazio vettoriale normato.

Probabilità modifica

Lo spazio vettoriale delle funzioni integrabili di variabile reale è dotato di una seminorma; procedendo come sopra, è possibile normalizzare qualunque tra queste funzioni abbia seminorma non nulla.

In particolare, una funzione   di variabile reale, integrabile, sempre positiva (o sempre negativa), con integrale non nullo,

 

può essere riscalata per   dando origine a una funzione di densità di probabilità:

 
 

Questo è un caso particolare di una misura di probabilità ottenuta normalizzando la misura di uno spazio misurabile, con la condizione che lo spazio stesso abbia misura finita e non nulla.

Un esempio nel calcolo delle probabilità è la probabilità condizionata da un evento B, di probabilità non nulla (è certamente finita): questa è ottenuta restringendo lo spazio degli eventi a B e normalizzando la misura.

Applicazioni modifica

Trigonometria modifica

In trigonometria la normalizzazione è un metodo per la risoluzione delle equazioni lineari in seno e coseno, chiamato anche metodo dell'angolo aggiunto. Per risolvere un'equazione del tipo:

 

Si dividono entrambi i membri per  

Questa quantità è diversa da zero, a meno che sia   che   siano nulli, nel qual caso l'equazione di partenza degenera nel caso banale  

Si ottiene:

 

Notiamo ora che i due coefficienti   e   sono entrambi, in modulo, minori di 1, e inoltre la somma dei loro quadrati è 1; pertanto essi possono essere considerati come seno e coseno di uno stesso angolo  . Si ha quindi:

 
 

Ora l'equazione iniziale diventa:

 

da cui si ottiene

 

Da questa equazione si può ora facilmente determinare il valore dell'angolo  , e poiché il valore dell'angolo   è noto, si può facilmente ricavare anche l'angolo incognito  

Voci correlate modifica

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