Simplesso

In matematica, il simplesso n-dimensionale è il politopo n-dimensionale col minor numero di vertici. Il simplesso di dimensione zero è un singolo punto, il simplesso bidimensionale un triangolo e quello tridimensionale un tetraedro. Il simplesso n-dimensionale ha n + 1 vertici. Come tutti i politopi, il simplesso ha facce di ogni dimensione: queste sono tutte a loro volta simplessi. Per la sua semplicità, il simplesso è generalmente ritenuto il "blocco base" con cui costruire spazi -dimensionali più complicati tramite un processo detto triangolazione.

Il tetraedro, un simplesso 3-dimensionale.

Origine del nomeModifica

Il concetto di simplesso era noto a William Kingdon Clifford, che scrisse di queste forme nel 1886 però chiamandole "prime confines". Henri Poincaré, scrivendo nel 1900 di topologia algebrica, le chiamò "tetraedri generalizzati". Nel 1902 Pieter Hendrik Schoute descrisse il concetto prima col superlativo latino simplicissimum ("il più semplice") e poi con lo stesso aggettivo latino nella forma normale simplex ("semplice").[1]

ProprietàModifica

L'ipervolume di un simplesso n-dimensionale di lato l è:

 [2]

L'angolo diedrale di un simplesso n-dimensionale è arccos(1/n)[3], e l'angolo che il centro del simplesso forma con due suoi vertici è (in quanto supplementare del precedente) arccos(-1/n).

DefinizioneModifica

Una definizione matematica rigorosa di simplesso si basa sulle nozioni di inviluppo convesso e di punti in posizione generale.

In uno spazio vettoriale,   punti   sono in posizione generale se i vettori

 

sono linearmente indipendenti. Analogamente, sono in posizione generale se il più piccolo sottospazio affine che li contiene ha dimensione  .

Un simplesso n-dimensionale è l'inviluppo convesso di   punti   in posizione generale in uno spazio euclideo  . Gli   punti sono i vertici del simplesso, che è spesso indicato con

 

Lo spazio euclideo ha necessariamente dimensione  .

EsempiModifica

  • Un simplesso 1-dimensionale è l'inviluppo di due punti, ovvero un segmento.
  • Un simplesso 2-dimensionale è l'inviluppo di tre punti non allineati, ovvero un triangolo.
  • Un simplesso 3-dimensionale è l'inviluppo di quattro punti non complanari, ovvero un tetraedro.
  • Un simplesso 4-dimensionale ha 5 vertici ed è chiamato ipertetraedro.

Facce di un simplessoModifica

Se   sono in posizione generale, anche   di questi punti, presi in modo arbitrario (con  ) sono in posizione generale; il simplesso  -dimensionale da essi generato è chiamato faccia  -dimensionale dell'originario simplesso  -dimensionale. In particolare, i vertici sono le 0-facce del simplesso.

Ad esempio, tra i 4 vertici di un tetraedro si possono individuare 4 diversi sottoinsiemi composti da 3 vertici ciascuno, corrispondenti a 4 facce triangolari.

In generale, il numero di  -facce in un simplesso  -dimensionale è pari al coefficiente binomiale  , cioè al numero di sottoinsiemi di   elementi di un insieme di   elementi.

Il simplesso standardModifica

 
Il simplesso standard bidimensionale.

Il simplesso standard   di dimensione   è l'inviluppo convesso

 

della base canonica   di  . In altre parole,

 

Le xi sono chiamate coordinate baricentriche di un punto nel simplesso.

NoteModifica

  1. ^ Jeff Miller, Simplex, in Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. URL consultato il 4 febbraio 2018.
  2. ^ Paul Stein, A Note on the Volume of a Simplex, in The American Mathematical Monthly, vol. 73, n. 3, 1966, pp. 299-301.
  3. ^ Harold R. Parks, Dean C. Wills, An Elementary Calculation of the Dihedral Angle of the Regular n-Simplex, in The American Mathematical Monthly, vol. 109, n. 8, ottobre 2002, pp. 756-758.

Voci correlateModifica

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