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Correlazione incrociata

In teoria dei segnali la correlazione incrociata (detta anche correlazione mutua o cross-correlazione) rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione temporale applicata ad uno di essi.

Indice

Definizione intuitivaModifica

Considerando due segnali a valori reali   e   che differiscono solamente per uno spostamento sull'asse t, si può calcolare la correlazione incrociata per mostrare di quanto   deve essere anticipato per renderlo identico ad  . La formula essenzialmente anticipa il segnale   lungo l'asse t, calcolando l'integrale del prodotto per ogni possibile valore dello spostamento. Quando i due segnali coincidono, il valore di   è massimizzato, poiché quando le forme d'onda sono allineate, esse contribuiscono solo positivamente al computo dell'area.

Con segnali complessi   e  , prendere il coniugato di   assicura che le forme d'onda allineate con componenti immaginarie contribuiscano positivamente al computo dell'integrale.

Definizione formaleModifica

Per due segnali di energia finita x ed y la correlazione incrociata è definita come:

 

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per due sequenze tempo-discreto, la correlazione incrociata è definita come:

 

Similmente, nel caso di segnali di potenza, si può scrivere:

 

e per sequenze di potenza:

 

La correlazione incrociata è simile per natura alla convoluzione tra due segnali. A differenza della convoluzione, che comporta l'inversione temporale di un segnale e poi lo spostamento ed il prodotto per un altro segnale, la correlazione comporta solamente lo spostamento ed il prodotto.

ProprietàModifica

  • La correlazione incrociata dei segnali x(t) e y(t) è equivalente alla convoluzione di -x *(−t) e y(t):
 
 

in cui   denota la trasformata di Fourier.

  • La correlazione incrociata ha come trasformata di Fourier la densità spettrale (vedere il Teorema di Wiener-Khinchin).
  • La correlazione incrociata della convoluzione tra x e z con una funzione y è la convoluzione della correlazione di x e y con il nucleo z:
 
  • Se   ed   sono due variabili aleatorie statisticamente indipendenti con densità di probabilità f e g, rispettivamente, allora la densità di probabilità della differenza   è data dalla correlazione incrociata f   g. Al contrario, la convoluzione f   g dà la densità di probabilità della somma  .

AutocorrelazioneModifica

Un'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso,

Per un segnale di energia finita x l'autocorrelazione è definita come:

 

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per una sequenza tempo-discreto, l'autocorrelazione è definita come:

 

Similmente, nel caso di segnali a potenza finita, si può scrivere:

 

e per sequenze di potenza finita:

 

Il suo utilizzo ad esempio è quello di verificare eventuali pattern di periodicità del segnale x(t), in tal caso infatti anche la correlazione presenta periodicità pari ad un certo valore del parametro di traslazione.

Proprietà dell'autocorrelazioneModifica

  • L'autocorrelazione ha sempre un picco nell'origine.
  • L'autocorrelazione di un segnale è una funzione a simmetria hermitiana,
  • L'autocorrelazione di un segnale interamente reale è pari in quanto la simmetria hermitiana differisce dalla parità per il coniugato, ma esso sui reali coincide con il numero stesso.
  • Il valore assunto nell’origine coincide con l’energia del segnale.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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