Correlazione incrociata

In teoria dei segnali la correlazione incrociata (detta anche correlazione mutua o cross-correlazione, dall'inglese cross-correlation) rappresenta la misura di similitudine di due segnali come funzione di uno spostamento o traslazione temporale applicata ad uno di essi.

Definizione intuitiva modifica

Considerando due segnali a valori reali   e   che differiscono solamente per uno spostamento sull'asse t, si può calcolare la correlazione incrociata per mostrare di quanto   deve essere anticipato per renderlo identico ad  . La formula essenzialmente anticipa il segnale   lungo l'asse t, calcolando l'integrale del prodotto per ogni possibile valore dello spostamento. Quando i due segnali coincidono, il valore di   è massimizzato, poiché quando le forme d'onda sono allineate, esse contribuiscono solo positivamente al computo dell'area.

Con segnali complessi   e  , prendere il coniugato di   assicura che le forme d'onda allineate con componenti immaginarie contribuiscano positivamente al computo dell'integrale.

Definizione formale modifica

Per due segnali di energia finita x ed y la correlazione incrociata è definita come:

 

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per due sequenze tempo-discreto, la correlazione incrociata è definita come:

 

Similmente, nel caso di segnali di potenza, si può scrivere:

 

e per sequenze di potenza:

 

La correlazione incrociata è simile per natura alla convoluzione tra due segnali. A differenza della convoluzione, che comporta l'inversione temporale di un segnale e poi lo spostamento ed il prodotto per un altro segnale, la correlazione comporta solamente lo spostamento ed il prodotto.

Proprietà modifica

  • La correlazione incrociata dei segnali x(t) e y(t) è equivalente alla convoluzione di x *(−t) e y(t):
 
 

in cui   denota la trasformata di Fourier.

  • La correlazione incrociata ha come trasformata di Fourier la densità spettrale (vedere il Teorema di Wiener-Chinčin).
  • La correlazione incrociata della convoluzione tra x e z con una funzione y è la convoluzione della correlazione di x e y con il nucleo z:
 
  • Se   ed   sono due variabili aleatorie statisticamente indipendenti con densità di probabilità f e g, rispettivamente, allora la densità di probabilità della differenza   è data dalla correlazione incrociata f   g. Al contrario, la convoluzione f   g dà la densità di probabilità della somma  .

Autocorrelazione modifica

Un'autocorrelazione è la correlazione incrociata di un segnale con se stesso,

Per un segnale di energia finita x l'autocorrelazione è definita come:

 

in cui x * denota il complesso coniugato di x.

Per una sequenza tempo-discreto, l'autocorrelazione è definita come:

 

Similmente, nel caso di segnali a potenza finita, si può scrivere:

 

e per sequenze di potenza finita:

 

Il suo utilizzo ad esempio è quello di verificare eventuali pattern di periodicità del segnale x(t), in tal caso infatti anche la correlazione presenta periodicità pari ad un certo valore del parametro di traslazione.

Proprietà dell'autocorrelazione modifica

  • L'autocorrelazione ha sempre un picco nell'origine.
  • L'autocorrelazione di un segnale è una funzione a simmetria hermitiana,  , infatti
 

dove è stata utilizzata l'identità  .

  • L'autocorrelazione di un segnale interamente reale è pari in quanto la simmetria hermitiana differisce dalla parità per il coniugato, ma esso sui reali coincide con il numero stesso.
  • Il valore assunto nell’origine coincide con l’energia del segnale:
 .

Relazione tra correlazione e convoluzione modifica

Si ricorda che la convoluzione tra due segnali   e  , reali o complessi, indicata simbolicamente come:

 

è data indifferentemente dalle due espressioni:

 

e

 ,

dalla prima si passa alla seconda con un semplice cambio di variabile.

L'operatore di correlazione e quello di convoluzione sono legati dalla relazione

 ,

infatti

 .

Voci correlate modifica

Collegamenti esterni modifica

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