Costante di Chinčin

Costante di Chinčin
Simbolo
Valore 2,685452001065306445...
(sequenza A002210 dell'OEIS)
Origine del nome Aleksandr Yakovlevich Khinchin
Frazione continua [2; 1, 2, 5, 1, 1, 2, 1, 1, 3, 10, 2, 1, ...]
(sequenza A002211 dell'OEIS)
Campo numeri reali
KhinchinBeispiele.svg
Il grafico mostra come, numericamente, la media geometrica dei quozienti parziali della frazione continua di π (in rosso), γ (in blu) e 2 (in verde) sembrino convergere alla costante di Khinchin.

In teoria dei numeri, la costante di Khinchin è una costante matematica che ha la proprietà di essere il limite, per quasi tutti i numeri reali, della media geometrica dei primi n quozienti parziali della loro frazione continua. L'esistenza di questa costante, indipendente dal numero di partenza, è stata dimostrata da Aleksandr Yakovlevich Khinchin. È denotata con K0.

Il suo valore è

Non è noto se la costante di Khinchin sia irrazionale.

Tra i numeri che non hanno questa proprietà vi sono i numeri razionali, gli irrazionali quadratici ed e; si suppone invece che π, la costante di Eulero-Mascheroni γ e la stessa costante di Khinchin la verifichino, ma questo non è stato dimostrato né per loro né per alcun altro numero, sebbene siano state costruite successioni la cui media geometrica tende a K0.

FormuleModifica

Vi sono varie formule che esprimono la costante di Khinchin. Come produttoria, si ha

 

mentre usando la funzione zeta di Riemann si ha

 

Due rappresentazioni integrali sono

 

dove Γ indica la funzione Gamma, e

 

Ulteriori costantiModifica

Generalizzando la media geometrica, è stato dimostrato che per quasi tutti gli x la media

 

è indipendente da x, e pari a

 

Per  , il limite di Kp è la costante di Khinchin.

BibliografiaModifica

  • David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Richard E. Crandall, On the Khintchine Constant (PDF), in Math. Comp., vol. 66, n. 217, 1995, pp. 417-431 (archiviato dall'url originale il 6 luglio 2010).

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica