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Costante di Eulero-Mascheroni

costante matematica
Costante di Eulero-Mascheroni
Simbolo γ
Valore 0,57721566490153286060...
(sequenza A001620 dell'OEIS)
Origine del nome Eulero e Lorenzo Mascheroni
Frazione continua [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, ...]
(sequenza A002852 dell'OEIS)
Campo numeri reali (congetturato irrazionale)
Costanti correlate Costanti di Stieltjes, Costante di Meissel-Mertens

La costante di Eulero - Mascheroni è una costante matematica, usata principalmente nella teoria dei numeri e nell'analisi matematica. È definita come limite della differenza tra la serie armonica troncata e il logaritmo naturale:

dove è l'ennesimo numero armonico. La sua valutazione approssimata è:

0,57721 56649 01532 86060 65120 90082 40243 10421 59335 93992 35988 05767 23488 48677 26777 66467 09369 47063 29174 67495...[1]

Non è noto se sia un numero razionale o meno. Tuttavia, se si suppone che sia razionale, l'analisi in frazioni continue dimostra che il suo denominatore ha più di 10242080 cifre.[2]

Le costanti di Stieltjes sono una generalizzazione di tale costante.

Rappresentazione integraleModifica

La costante può essere definita in più modi attraverso gli integrali:

 
dove le parentesi   indicano la funzione parte intera (floor)
 
 
 
 
 
 

Altri integrali collegati con   sono:

 
 

Sviluppo in serieModifica

La Costante di Eulero-Mascheroni si può esprimere tramite molte serie:

 
 
 

È notabile la serie trovata da Vacca nel 1910:

 
dove, nuovamente, le parentesi   indicano la funzione parte intera (floor).

Essa si generalizza in

 

per ogni intero  .

Collegamento con le funzioni specialiModifica

La Costante di Eulero-Mascheroni è collegata con molte funzioni speciali come la funzione zeta di Riemann, la funzione gamma e la funzione digamma.

 
 

Presenza in teoria dei numeriModifica

La costante di Eulero-Mascheroni compare spesso in teoria dei numeri, ad esempio collegata ai numeri primi

 
 

noto come terzo teorema di Mertens. Nel problema dei divisori di Dirichlet

 

Inoltre,

 

dove   e   sono rispettivamente il numero di 1 e di 0 nell'espansione binaria di   (Sondow 2005).

NoteModifica

  1. ^ Il record per il calcolo di γ è di 108 000 000 di decimali (Patrick Demichel e Xavier Gourdon, 1999). V. Histoire des maths
  2. ^ havil, p. 97.

BibliografiaModifica

  • Havil, J., Gamma: Exploring Euler's Constant, Princeton, NJ: Princeton University Press, 2003.

Voci correlateModifica

La costante di Eulero - Mascheroni compare anche nelle seguenti voci:

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Collegamenti esterniModifica


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