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In statistica e in teoria della probabilità, la covarianza di due variabili statistiche o variabili aleatorie è un numero che fornisce una misura di quanto le due varino assieme, ovvero della loro dipendenza.

Indice

ProbabilitàModifica

DefinizioneModifica

La covarianza di due variabili aleatorie   e   è il valore atteso dei prodotti delle loro distanze dalla media:

 

La covarianza di   e   può anche essere espressa come la differenza tra il valore atteso del loro prodotto e il prodotto dei loro valori attesi:

 

Infatti per la linearità del valore atteso risulta

 

ProprietàModifica

La covarianza rispetta le seguenti proprietà, per variabili aleatorie  ,   e  , e costanti   e  :

  •  
  •  
  •  

Due variabili aleatorie indipendenti hanno covarianza nulla, poiché dalla loro indipendenza segue

 

Due variabili aleatorie che hanno covarianza nulla sono incorrelate.

Due variabili aleatorie dipendenti possono essere incorrelate. Ad esempio, se   è una variabile aleatoria di legge uniforme sull'intervallo   e  , allora

 

VarianzaModifica

La covarianza può essere considerata una generalizzazione della varianza

 

e compare come termine di correzione nella relazione

 

Più in generale, per variabili aleatorie   e   vale

 

come caso particolare di

 

StatisticaModifica

In statistica la covarianza di due variabili statistiche   e  , indicata come  , è un indice di variabilità congiunta.

Su una popolazione di   osservazioni congiunte  , di rispettive medie   e  , la covarianza osservata è

 

Uno stimatore della covarianza su un campione di   osservazioni congiunte   è

 

La varianza e la covarianza intervengono per definire l'indice di correlazione di Bravais-Pearson

 

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica