Criterio di Weierstrass

In analisi matematica, il criterio di Weierstrass, conosciuto anche come M-test, è un importante risultato riguardante la convergenza totale (e di conseguenza la convergenza uniforme) di serie di funzioni di variabile complessa o reale.

Il criterioModifica

Sia   una successione di funzioni a valori complessi. Se per ogni   esiste   tale che:

 

e si ha:

 

allora la serie:

 

converge totalmente e uniformemente in  .

Questo risultato è spesso utilizzato insieme al teorema del limite uniforme, il quale afferma che il limite (relativo alla convergenza uniforme) di ogni successione di funzioni continue è continuo. Insieme, i due enunciati stabiliscono che se, in aggiunta alle condizioni precedenti,   è uno spazio topologico e le funzioni   sono continue su  , allora la serie converge ad una funzione continua.

GeneralizzazioneModifica

Se il codominio di   è uno spazio di Banach si ottiene una generalizzazione del teorema, in cui la disuguaglianza:

 

può essere rimpiazzata da:

 

dove   è la norma sullo spazio di Banach.

DimostrazioneModifica

Sia  . Presi   con  , date le ipotesi del teorema si ha:

 

La serie a termini non-negativi   converge, quindi per ogni   esiste   tale che per ogni   si verifica:

 

Scegliendo   e   sufficientemente grandi si ha quindi:

 

Per ogni   la successione   è di Cauchy nello spazio metrico completo  , pertanto converge a  . Definendo la funzione   e facendo tendere   a   nella precedente relazione si ha:

 

ovvero   converge uniformemente a  .

BibliografiaModifica

  • (EN) Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, gennaio 1991, ISBN 0-07-054236-8.
  • (EN) Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, maggio 1986, ISBN 0-07-054234-1.
  • (EN) Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill Science/Engineering/Math, 1976.
  • (EN) E. T. Whittaker; G. N. Watson, A Course in Modern Analysis, fourth edition. Cambridge University Press, 1927.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica