Derivata di Lie

In matematica, la derivata di Lie, così chiamata in onore di Sophus Lie da parte di Władysław Ślebodziński, calcola la variazione di un campo vettoriale, più in generale di un campo tensoriale, lungo il flusso di un altro campo vettoriale.

L'idea base della derivata di Lie è quella di confrontare due tensori, uno l'evoluto dell'altro, lungo una stessa curva che è soluzione di un opportuno campo vettoriale e facendo il limite per lo spostamento infinitesimale.

Tale derivata è strettamente correlata con l'idea che sottende la derivata di una sezione lungo una curva.

DefinizioneModifica

Sia   una varietà differenziabile,   un campo vettoriale su  ,   un campo tensoriale qualsiasi anch'esso su  .

La derivata di Lie di   lungo   è il campo tensoriale così definito:

 

con   si intende il pull-back di   lungo la mappa   che coincide con il flusso di  .   è un campo tensoriale qualsiasi, in particolare vale anche nel caso  , cioè quando è una funzione  .

Casi particolariModifica

Sia   una varietà differenziabile m-dimensionale,   un opportuno campo vettoriale su  ,   un sistema di coordinate su  , con  . La notazione   indica la componente i-esima del campo vettoriale   rispetto alla base naturale indotta dal sistema di coordinate, e lo stesso discorso vale per i campi tensoriali   con la notazione  .

  • Nel caso della derivata di Lie di una funzione scalare su   il pull-back coincide con la composizione di funzione tra   e la mappa  :
 
derivando rispetto a   si ottiene:
 
con   si intende il differenziale, o la derivata esterna, di  .
Se ora si indica con   l'algebra delle funzioni definite su  , allora:
 .
  • Derivata di Lie per un campo tensoriale   di tipo   su  :
 
Anche in questo caso se si indica con   lo spazio vettoriale su  , o come modulo sull'anello  , dei campi tensoriali   su   allora:
 .

ProprietàModifica

La derivata di Lie gode di molte proprietà:

  • Linearità. Siano   e   dei campi tensoriali   su  . Allora:
 
 
  • Regola di Leibniz. Siano   e   campi tensoriali su  . Allora:
 
 
  • Sia   una q-forma differenziale su  , allora
 
  • Formula di Cartan, o formula magica di Cartan, relativa a q-forme differenziali:
 
dove   denota il prodotto interno e   la derivata esterna.Vale anche nel caso   ponendo per definizione   per ogni campo vettoriale  .
 

Derivata di Lie di un campo vettorialeModifica

La derivata di Lie di un campo vettoriale   rispetto ad un altro campo vettoriale   su una varietà   è definita con la notazione   che prende il nome di parentesi di Lie e per definizione coincide con la derivata di Lie, cioè:

 

Se ora si considera un sistema di coordinate   su   e   la rispettiva base indotta sul tangente di  ,  , allora il campo vettoriale   si scrive:

 

e la parentesi di Lie tra i campi vettoriale in coordinate assume il seguente aspetto:

 

Questa scrittura rende evidente la relazione:

 

e rende più comprensibile la proprietà sopra indicata con il nome di identità di Jacobi, infatti:

 

dove   rappresenta un altro campo vettoriale su  . Grazie a queste relazione lo spazio vettoriale dei campi vettoriali su  , indicato con  , con l'operazione   risulta essere un'algebra di Lie.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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