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In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali ed un operatore lineare , ad ogni tensore associa un tensore dello stesso tipo su . Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di si considerino due varietà lisce qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare un'applicazione liscia e al tensore un campo tensoriale liscio su .

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione ) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-pack che prende il nome di push-forward, che inverte il pull-back.

Indice

EsempiModifica

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano   due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa,   e  . Il pull-back di   tramite   che si denoterà   risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

 .

Ora consideriamo due spazi vettoriali   con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali  ; sia   e   allora il pull-back di   tramite   definito come   cioè   e tale che per ogni   sia così definito

 

l'operatore   prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo  , cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo   su  . Proseguiremo lo studio nel caso di tensori e campi tensoriali covarianti cioè di tipo  .

Pull-back di tensori (0,p)Modifica

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo   ed anche in questo caso gli spazi vettoriali   potranno non avere la stessa dimensione e quindi   non essere invertibile. Consideriamo   allora possiamo definire   in questo modo; dati   si ha

 .

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se noi consideriamo l'applicazione multilineare così definita

 
 

 . Per la proprietà di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

 

tale che

 

Ora ricordando che ogni  , data una base   di  , ammette un'unica scrittura del tipo  , dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora consideriamo due varietà lisce   con dimensione rispettivamente m e n, un'applicazione   liscia e un campo tensoriale   liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trascinare" un campo tensoriale dello stesso tipo su  .

Osserviamo che ogni applicazione   liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata  , tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di  , in un punto  , fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di   nel punto immagine  . Ovviamente questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione  .

Ora grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti

 

è così definito

 

dove   è un punto sulla varietà   e  .

Pull-back di tensori arbitrariModifica

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso avremo due spazi vettoriali   con dimensione uguale, un isomorfismo  , e un tensore  ; il pull-back, dati  , per definizione è

 .

  indica l'iverso dell'aggiunto che esiste perché   infatti

 
 .

Quindi la definizione è ben posta e notiamo che nel caso di tensori (0,q) la definizione coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta   dovranno avere la stessa dimensione e la funzione   dovrà essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su  , il suo pull-back risulta essere

 

dove   indica sempre l'applicazione tangente e  .

EsempioModifica

Consideriamo il pull-back di un campo vettoriale  ; da quanto detto risulta:

 

Sia ora   tale che   e  , cioè la soluzione del problema di Cauchy su   con dato iniziale  .

Allora si ha che   è soluzione del PC su   con dato iniziale   del campo vettoriale  . Quindi se ora consideriamo il flusso   indotto dal campo vettoriale   su  , il rispettivo flusso del campo vettoriale   su   risulta essere  .

Espressione sulle basi del pull-backModifica

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà, giustamente, perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti.

In questa sezione mostreremo invece quale sarà l'espressione del pull-back sulle basi; siano   una base su   e la rispettiva base duale su  ,   una base su   e la duale su  . Quindi l'operatore   rispetto a queste basi avrà questa rappresentazione

 

con j indice di riga e i di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein(per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza   si rappresenta

 

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente   su tale base risulta

 

dove  .

Notiamo che al posto di considerare un altro spazio vettoriale   avessimo considerato sempre  , allora   risulterebbe l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensore durante il cambio di base.

Composizione del pull-backModifica

Sia data una terza varietà   e un diffeomorfismo   allora il pull-back di un campo tensoriale   su   risulta essere il pull-back della composizione di funzioni   che è un diffeomorfismo tra   e dato che l'applicazione tangente  , si ha la seguente relazione:

 

Da questa relazione dato che il pull-back della funzione identità è l'identità si ha:

 

Pull-back commuta con la derivata esternaModifica

Date due varietà  , una funzione liscia  , una q-forma   su  , si ha la seguente uguaglianza:

 

dove   indica la derivata esterna.

Notiamo innanzitutto che è un'uguaglianza tra q+1-forme su  , difatti questa relazione è verificata se mostriamo l'uguaglianza tra:

 

  è una funzione scalare liscia su   (quindi può essere vista come una 0-forma su  ).

Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

 .

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una q-forma   è:

 

con   liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Si ha la tesi.

Pull-back e derivata di LieModifica

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore   lungo un campo vettoriale  , vi è la seguente relazione:

 

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che   non dipende dal tempo; da cui:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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