Pull-back

In matematica, con il termine pull-back, che tradotto letteralmente dall'inglese significa "tirare indietro", ci si riferisce ad un operatore lineare che, dati due spazi vettoriali e un operatore lineare , ad ogni tensore associa un tensore dello stesso tipo su . Più in generale, questa operazione può essere fatta quando al posto di si considerino due varietà lisce qualsiasi, sostituendo all'operatore lineare un'applicazione liscia e al tensore un campo tensoriale liscio su .

Nel definire questa operazione si procede per gradi, mostrando che per certi tipi di tensori (o campi tensoriali) all'applicazione lineare (o alla funzione ) non è richiesto che sia un isomorfismo (o diffeomorfismo).

Esiste un operatore "duale" del pull-back che prende il nome di push-forward.

EsempiModifica

Prima di proseguire la trattazione facciamo due esempi semplici che possano fare luce sul significato dell'operatore.

Siano   due varietà con dimensione arbitraria, anche diversa,   e  . Il pull-back di   tramite   che si denoterà   risulterà essere semplicemente la composizione di funzioni:

 

Ora consideriamo due spazi vettoriali   con dimensione finita, non necessariamente uguale, e i rispettivi duali  ; sia   e   allora il pull-back di   tramite   definito come   cioè   e tale che per ogni   sia così definito:

 

L'operatore   prende anche il nome di aggiunto.

Quindi questi due esempi mostrano ciò che fa il pull-back, cioè "tira indietro" i due tensori ed inoltre abbiamo già studiato il caso in cui sia dato un campo tensoriale di tipo  , cioè una funzione scalare, su una varietà e nel secondo caso un tensore di tipo   su  .

Pull-back di tensori (0,p)Modifica

Per questo tipo di tensori si generalizza il discorso fatto sopra per i tensori di tipo   ed anche in questo caso gli spazi vettoriali   potranno non avere la stessa dimensione e quindi   non essere invertibile. Consideriamo   allora si definisce   in questo modo: dati   si ha

 

L'idea alla base di questa definizione è quella di utilizzare la proprietà universale di linearizzazione; infatti se si considera l'applicazione multilineare così definita:

 
 

con   per  , per la proprietà universale di linearizzazione questa definisce un'unica applicazione multilineare

 

tale che

 

Ora ricordando che ogni  , data una base   per   di  , ammette un'unica scrittura del tipo  , dove abbiamo utilizzato la notazione di Einstein, per linearità si ha l'uguaglianza con la definizione iniziale.

Se ora si considerano due varietà lisce   con dimensione rispettivamente   e   un'applicazione   liscia e un campo tensoriale   liscio, l'operazione di pull-back ci consente di "trasferire" il campo tensoriale su  .

Ogni applicazione   liscia tra varietà induce un'applicazione lineare, detta tangente e denotata  , tale che per ogni vettore appartenente allo spazio tangente di  , in un punto  , fa corrispondere un vettore appartenente allo spazio tangente di   nel punto immagine  . Questa applicazione tangente coincide con lo jacobiano della funzione  .

Grazie questa osservazione è banale estendere il pull-back ai campi tensoriali, usando quanto già visto nel caso di campi vettoriali, lavorando puntualmente sulle fibre dei fibrati tensoriali. Infatti   è così definito:

 

dove   è un punto sulla varietà   e  .

Pull-back di tensori arbitrariModifica

Come nella sezione precedente mostreremo il pull-back per spazi vettoriali e poi estenderemo il tutto alle varietà.

In questo caso si hanno due spazi vettoriali   con dimensione uguale, un isomorfismo  , e un tensore  ; il pull-back, dati   e  , per definizione è

 

dove   indica l'inverso dell'aggiunto che esiste perché   infatti

 
 

Quindi la definizione è ben posta e nel caso di tensori   coincide con quella precedente.

Per le varietà si procede in maniera analoga a quanto fatto precedentemente, la differenza è che ora le due varieta   devono la stessa dimensione e la funzione   deve essere un diffeomorfismo; quindi dato un campo tensoriale qualunque su  , il suo pull-back risulta essere

 

dove   indica sempre l'applicazione tangente e  .

EsempioModifica

Si consideri il pull-back di un campo vettoriale  ; da quanto detto risulta:

 

Sia ora   tale che   e  , cioè la soluzione del problema di Cauchy su   con dato iniziale  .

Allora si ha che   è soluzione del problema di Cauchy su   con dato iniziale   del campo vettoriale  . Quindi se ora si considera il flusso   indotto dal campo vettoriale   su  , il rispettivo flusso del campo vettoriale   su   risulta essere  .

Espressione sulle basi del pull-backModifica

Nelle sezioni precedenti si è presentato il pull-back in maniera astratta senza far ricorso a basi negli spazi vettoriali interessati o a coordinate sulle varietà perché i tensori, e il calcolo tensoriale, nascono come una struttura algebrica completamente intrinseca allo spazio dove vengono definiti, cioè indipendenti dalla scelta di basi.

In questa sezione si mostra invece qual è l'espressione del pull-back sulle basi. Siano   e   una base su   e la rispettiva base duale su  , e siano   e   una base su   e la duale su  . L'operatore   rispetto a queste basi ha rappresentazione

 

con   indice di riga e   di colonna, si è utilizzata la notazione di Einstein (per tutta la sezione se ne farà uso). Di conseguenza   si rappresenta

 

in pratica risulta essere la trasposta. Quindi la componente   su tale base risulta

 

dove  

Notiamo che se  , allora   è l'applicazione del cambiamento di base e quindi il risultato ottenuto coincide con il comportamento dei tensori rispetto al cambio di base.

Composizione del pull-backModifica

Sia data una terza varietà   e un diffeomorfismo   allora il pull-back di un campo tensoriale   su   è il pull-back della composizione di funzioni   che è un diffeomorfismo tra   e   e dato che l'applicazione tangente  , si ha la seguente relazione:

 

Da questa relazione, dato che il pull-back della funzione identità è l'identità, si ha:

 

Pull-back commuta con la derivata esternaModifica

Date due varietà  , una funzione liscia  , una q-forma   su  , si ha la seguente uguaglianza:

 

dove   indica la derivata esterna.

Si noti che è un'uguaglianza tra  -forme su  , difatti questa relazione è verificata se è vera l'uguaglianza tra:

 

dove   è una funzione scalare liscia su   (quindi può essere vista come una 0-forma su  ). Ma questa è immediata perché il pull-back di una funzione è semplicemente una composizione di funzioni; infatti:

 

Da cui ricordando che la regola per la derivata esterna di una  -forma   è:

 

con   e   liscia e con somma sugli indici sottintesa (notazione di Einstein).

Pull-back e derivata di LieModifica

Tra pull-back e derivata di Lie, di un tensore   lungo un campo vettoriale  , vi è la seguente relazione:

 

La verifica è immediata ricordando l'espressione della derivata di Lie come derivata temporale e dal fatto che   non dipende dal tempo; da cui:

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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