Diedro (poliedro)
Un diedro è un tipo di poliedro costituito da due facce poligonali che condividono gli stessi n spigoli. Nello spazio euclideo tridimensionale il diedro rappresenta un caso degenere di poliedro e le sue facce sono piatte, nello spazio sferico tridimensionale, invece, un diedro con facce piatte può essere visto come una lente e un suo tipico esempio è il dominio fondamentale di uno spazio lenticolare .[1] In letteratura i diedri sono talvolta chiamati anche biedri[2] e poliedri piatti.[3]
| Insieme di diedri n-gonali regolari | |
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| Tipo | Poliedro regolare o poliedro sferico |
| Forma facce | n-goni |
| Nº facce | 2 |
| Nº spigoli | n |
| Nº vertici | n |
| Incidenza dei vertici | n.n |
| Notazione di Wythoff | 2 | n 2 |
| Notazione di Schläfli | {n,2} |
| Diagramma di Coxeter-Dynkin |    
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| Gruppo rotazionale | Dn, [2,n]+, (22n), ordine 2n |
| Duale | Osoedro n-gonale regolare |
| Politopi correlati | |
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Il diedro può esistere nella sua forma non degenere come poliedro sferico, e quindi come tassellatura sferica, con le sue due facce di n lati a coprire la sfera, essendo ognuna di esse una semisfera, e con i vertici su una circonferenza massima posta all'equatore della sfera. In questo caso il diedro è regolare se i sopraccitati vertici sono tutti equidistanti.
Il poliedro duale di un diedro n gonale è un osoedro n-gonale, un poliedro in cui le n facce digonali a forma di fuso sferico condividono i due vertici.
Come poliedro a facce piane modifica
Un diedro può essere considerato un prisma degenere le cui due basi poligonali e planari di n lati sono collegate "faccia a faccia", in modo che l'oggetto risultante non abbia profondità. I poligoni devono essere congruenti, ma sovrapposti in modo tale che uno sia l'immagine speculare dell'altro. Questo vale solo se la distanza tra le due facce è zero; per una distanza maggiore di zero, le facce sono poligoni infiniti (un po' come le facce di digonali di un osoedro apeirogonale, con una larghezza maggiore di zero, sono strisce infinite).
L'esistenza dei diedri può essere desunta dal teorema di unicità di Alexandrov, che identifica le distanze sulla superficie di qualsiasi poliedro convesso come localmente euclidee tranne che in un numero finito di punti con difetto angolare positivo che ha un valore totale di 4π. Questa qualificazione vale anche per le distanze sulla superficie di un diedro, quindi l'affermazione del teorema di Alexandrov richiede che i diedri siano considerati poliedri convessi.[4]
Alcuni diedri appaiono invece come membri estremi di altre famiglie di poliedri: ad esempio, un prisma con basi digonali sarebbe un diedro quadrato, mentre una piramide con una base digonale sarebbe un diedro triangolare.
Un diedro regolare costituito da due poligoni regolari, ognuno con simbolo di Schläfli {n}, ha simbolo di Schläfli {n,2}.[5]
Come tassellatura sferica modifica
Un diedro sferico è composto da due poligoni sferici che condividono gli stessi n vertici, siti su una circonferenza massima equatoriale, e che costituiscono ognuno una semisfera. Nel caso in cui i suddetti vertici siano equidistanti sulla circonferenza massima, allora il diedro sferico è regolare.
Il poliedro regolare {2,2} è auto-duale essendo sia un diedro che un osoedro.
| Spazio | Sferico | Euclideo | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nome tassellatura | Diedro monogonale | Diedro digonale | (Triangolare) Diedro trigonale |
(Tetragonale) Diedro quadrato |
Diedro pentagonale | Diedro esagonale | ... | Diedro apeirogonale |
| Immagine tassellatura | 
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| Notazione di Schläfli | {1,2} | {2,2} | {3,2} | {4,2} | {5,2} | {6,2} | ... | {∞,2} |
| Diagramma di Coxeter-Dynkin | 
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| Facce | 2 {1} | 2 {2} | 2 {3} | 2 {4} | 2 {5} | 2 {6} | ... | 2 {∞} |
| Spigoli e vertici | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | ... | ∞ |
| Incidenza dei vertici | 1.1 | 2.2 | 3.3 | 4.4 | 5.5 | 6.6 | ... | ∞.∞ |
Diedro apeirogonale modifica
Per n tendente a infinito, un diedro n-gonale diventa un diedro apeirogonale in forma di tassellatura bidimensionale:
Ditopi modifica
Così come i poliedri sono politopi tridimensionali, allo stesso modo un diedro è un particolare ditopo a tre dimensioni. Un ditopo regolare a n dimensioni, con n>3, e rappresentato in notazione di Schläfli come {p,...,q,r,2} ha due faccette, {p,...,q,r}, che condividono tutte le (n-1)-faccette aventi come simbolo di Schläfli {p,...,q}.[6]
Note modifica
- ^ Evelise Gausmann et al., Topological Lensing in Spherical Spaces, in Classical and Quantum Gravity, vol. 18, n. 23, 2001, pp. 5155-5186, Bibcode:2001CQGra..18.5155G, DOI:10.1088/0264-9381/18/23/311, arXiv:gr-qc/0106033.
- ^ S. Kántor, On the volume of unbounded polyhedra in the hyperbolic space (PDF), in Beiträge zur Algebra und Geometrie, vol. 44, n. 1, 2003, pp. 145-154, MR 1990989. URL consultato il 20 giugno 2021.
- ^ Joseph O'Rourke, Flat zipper-unfolding pairs for Platonic solids, 2010, Bibcode:2010arXiv1010.2450O, arXiv:1010.2450.
- ^ Joseph O'Rourke, On flat polyhedra deriving from Alexandrov's theorem, 2010, Bibcode:2010arXiv1007.2016O, arXiv:1007.2016.
- ^ H. S. M Coxeter, Regular Polytopes, 3ª ed., New York, Dover Publications Inc., 1973, pp. 12, ISBN 0-486-61480-8.
- ^ Peter McMullen e Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, 1ª ed., Cambridge University Press, Dicembre 2002, p. 158, ISBN 0-521-81496-0. URL consultato il 20 maggio 2021.
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