Apeirogono
In geometria, un apeirogono[1] (dal greco ἄπειρος, apeiros, che significa "infinito, illimitato" e γωνία, gonia, che significa "angolo") o poligono infinito è un poligono con un numero infinito di lati, ovverosia un politopo infinito di dimensione 2.
| Apeirogono regolare | |
|---|---|
 | |
| Nº spigoli | ∞ |
| Nº vertici | ∞ |
| Notazione di Schläfli | {∞} |
| Diagramma di Coxeter-Dynkin |   
|
| Duale | Autoduale |
Definizioni
modificaApeirogono geometrico
modificaSecondo la definizione data da H. S. M. Coxeter, dati un punto A0 in uno spazio euclideo e una translazione S, e sia il punto Ai il punto ottenuto dall'applicazione della traslazione S al punto A0 per i volte, così che Ai = Si(A0), un apeirogono regolare è il poligono che si ottiene unendo i vertici ottenuti per ogni numero intero i con segmenti di uguale lunghezza.[2]
Un apeirogono regolare può anche essere definito come la ripartizione di una retta euclidea E1 in infiniti segmenti di uguale lunghezza, generalizzando quindi il concetto di n-gono regolare, che può essere definito come una ripartizione del cerchio S1 in un numero finito di segmenti di uguale lunghezza.[3]
Pseudogono iperbolico
modificaConsiderando uno spazio iperbolico, l'analogo dell'apeirogono regolare è lo pseudogono regolare, definito come la partizione di una retta iperbolica in in segmenti di lunghezza 2λ.[4]
Apeirogono astratto
modificaCom'è noto, un politopo astratto è un insieme parzialmente ordinato P (i cui elementi sono chiamati facce) che soddisfa 4 assiomi:
- Ha almeno una faccia e una faccia di dimensione maggiore;
- Tutte le bandiere contengono lo stesso numero di facce;
- È fortemente connesso;
- Se le dimensioni di due facce, a e b con a > b, differiscono di 2, ci sono esattamente due facce c e d tali che, per dimensione, a > c > b e a > d > b
Per i politopi astratti di dimensione 2, ciò significa che:
- Gli elementi dell'insieme parzialmente ordinato sono insiemi di vertici contenenti zero vertici (insieme vuoto), un vertice, due vertici (un lato), o l'intero insieme di vertici (una faccia bidimensionale), ordinati per inclusione di insiemi;
- Ogni vertice appartiene esattamente a due lati;
- Il grafo non orientato formato dai vertici e dagli archi è connesso.[5][6]
Un politopo astratto si chiama dunque apeirotopo astratto se ha infiniti elementi e un 2-apeirotopo astratto è chiamato apeirogono astratto. Dato che la realizzazione di un politopo astratto si ottiene con la mappatura dei suoi vertici in punti di uno spazio geometrico - tipicamente uno spazio euclideo - ogni apeirogono geometrico è la realizzazione di un apeirogono astratto.
Simmetrie
modifica
Il gruppo diedrale infinito G di un apeirogono geometrico regolare è generato da due riflessioni, il cui prodotto trasla ciascun vertice di P al successivo. Tale prodotto può poi essere scomposto come il prodotto di una traslazione diversa da zero, di un numero finito di rotazioni e di una riflessione possibilmente banale.[7][8]
In un politopo astratto, una bandiera è una raccolta contenente una faccia di ciascuna dimensione (per un poliedro P essa è ad esempio una terna (v, s, f), in cui v è un vertice - ossia una faccia di dimensione 0 - di P, s è uno spigolo - ossia una faccia di dimensione 1 - di P ed f è una faccia - in particolare una faccia di dimensione 2 - di P, tali che v < s < f)[9] tutte incidenti tra loro, e tale politopo astratto è detto "regolare" se possiede simmetrie che portano qualsiasi bandiera su qualsiasi altra bandiera, cosa automaticamente vera nel caso di un politopo astratto bidimensionale.
La realizzazione simmetrica di un apeirogono astratto è quindi definita come la mappatura dai suoi vertici a uno spazio geometrico a dimensione finita - tipicamente uno spazio euclideo - tale che ogni simmetria dell'apeirogono astratto corrisponde a un'isometria delle immagini della mappatura.[10][11]
Spazio dei moduli
modificaGeneralmente lo spazio dei moduli di una realizzazione fedele di un politopo astratto è un cono convesso di dimensione infinita. Il cono di realizzazione dell'apeirogono astratto ha una dimensione algebrica non delimitabile, letteralmente “infinitamente infinita”, e non può essere chiuso nella topologia euclidea .[12][13]
Classificazione degli apeirogoni euclidei
modificaLa realizzazione simmetrica di qualsiasi poligono regolare nello spazio euclideo di dimensione maggiore di 2 è riducibile, nel senso che può essere realizzata come un'unione di due poligoni di dimensione inferiore. Questa caratterizzazione dei poligoni si applica anche naturalmente agli apeirogoni regolari, i quali sono il risultato della fusione dell'apeirogono unidimensionale con altri poligoni.[8]
In due dimensioni gli apeirogoni regolari discreti sono i poligoni sghembi infiniti[14] risultanti dalla fusione dell'apeirogono monodimensionale con il digono, rappresentati con il simbolo di Schläfli {∞}#{2}, {∞}#{}, o .
In tre dimensioni gli apeirogoni regolari discreti sono i poligoni elicoildali infiniti,[14] aventi i vertici equamente distanziati lungo un'elica, risultanti dalla fusione di un apeirogono monodimensionale con un poligono bidimensionale, {∞}#{p/q} o .
Generalizzazioni
modificaDimensione maggiore di 2
modificaL'analogo in 3 dimensioni dell'apeirogono prende il nome di apeiroedro,[15] e, più in generale, un n-apeirotopo o un n-politopo infinito è l'analogo n-dimensionale di un apeirogono.[5]
Note
modifica- ^ Odifreddi, p. 193.
- ^ Coxeter, p. 45.
- ^ Johnson, p. 226.
- ^ Johnson, p. 290.
- ^ a b McMullen-Schulte, p. 22-25.
- ^ McMullen, p. 224.
- ^ McMullen-Schulte, p. 140-141.
- ^ a b McMullen, p. 231.
- ^ Lucia Bernardini, Sui cinque corpi regolari (PDF), Alma mater studiorum - Università di Bologna, 2010, pp. 26. URL consultato il 20 marzo 2024.
- ^ McMullen-Schulte, p. 121.
- ^ McMullen, p. 225.
- ^ McMullen-Schulte, p. 141.
- ^ McMullen, p. 232.
- ^ a b B. Grünbaum, Regular polyhedra – old and new, in Aequationes Mathematicae, vol. 16, 1977, p. 1–20, DOI:10.1007/BF01836414.
- ^ H. S. M. Coxeter, Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions, in Proc. London Math. Soc., vol. 43, 1937, pp. 33-62. URL consultato il 20 marzo 2024.
Bibliografia
modifica- Piergiorgio Odifreddi, Ritratti dell'infinito, Rizzoli Libri, 2020. URL consultato il 20 marzo 2024.
- H. S. M. Coxeter, Regular polytopes, Londra, Methuen & Co. Ltd..
- Norman W. Johnson, Geometries and transformations, Cambridge University Press, 2018, ISBN 9781107103405. URL consultato il 20 marzo 2024.
- Peter McMullen e Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, 1ª ed., Cambridge University Press, dicembre 2002, ISBN 0-521-81496-0. URL consultato il 21 marzo 2024.
- Peter McMullen, Realizations of regular apeirotopes, in Aequationes Mathematicae, vol. 47, n. 2-3, 1994, pp. 223-239, DOI:10.1007/BF01832961. URL consultato il 22 marzo 2024.
