Discussione:Spazio di Hilbert

Non credo che ci sia bisogno di ridefinire tutto in questa voce, che così come è adesso mi sembra abbastanza illeggibile. Le nozioni di applicazione lineare, spazio normato, prodotto scalare, forma bilineare, etc. sono già spiegate in altre voci con più calma e con più dettagli, andrebbero qui solo rimandate. Cerchiamo (in generale) di fare riferimento a quello che c'è già, e di spiegare meglio i (pochi) concetti nuovi. Ylebru dimmela 22:07, 8 mag 2006 (CEST)

Dualità

Mi pare che la sezione sulla dualità sia sbagliata:

1- Il duale si definisce come l'insieme dei funzionali lineari continui (in questo caso, w.r.t. la norma dell'Hilbert), mentre la definzione qui non è chiara. In ogni caso, questo non andrebbe chiacchierato nell'articolo. Qualche tempo fa, avevo iniziato un articolo sugli TVS, a cui si potrebbe rimandare, anche se la dualità merita articoli tutti suoi.

2- Non esiste un'applicazione canonica tra uno spazio ed il suo duale, nemmeno in un euclideo finitodimensionale. Dunque, a cosa fa riferimento l'applicazione di cui si parla nell'articolo?

3- La cosa notevole degli Hilbert è che essi sono una rappresentazione del loro stesso duale, e questo chiude ogni discorso sulla dualità. Mi pare che non sia citato. Fra l'altro, andrebbe pure detto che spesso e volentieri è tuttavia folle rappresentare un duale di un Hilbert con se' stesso (questo non appare dall'articolo). PEr esempio, chi mai rappresenterebbe $H^{-\alpha }$ con $H^{\alpha }$? gala.martin (spara fra') 05:40, 11 mag 2006 (CEST)

Sul punto 1) sono d'accordo ma era un articolo d'appoggio e volevo avere un'idea chiara di tutti gli argomenti. Comunque ammetto l'errore, di qualunque natura, che mi abbia portato a definire il duale. Sul punto 2) l'applicazione esiste ed è un isomorfismo, perché due spazi di Hilbert separabili qualsiasi sono isomorfi. Sul punto 3) la rappresentazione non è la stessa è duale e quindi specie nel caso complesso diversa. Per quanto riguarda la tua correzione non c'era scritto che tutti gli spazi di Hilbert sono separabili, ma solo che è una caratteristica particolare, che in genere si aggiunge per le applicazioni notevoli che porta, o almeno questo era il senso che volevo dargli: potevi tranquillamente precisarlo senza cancellarlo.Vince 20:06, 12 mag 2006 (CEST)Vince

Sul punto 2), l'isomorfismo esiste dal momento che il duale di un hilbert è l'hilbert stesso. Il fatto è che per il duale tale isomorfismo non è canonico. Cioè, non ce ne è uno naturale. Ad esempio, se fissi una base nell'hilbert (separabile o no) ed una nel duale, allora puoi definire un isomorfismo che mappa un vettore in quello duale con le medesime coordinate (rispetto alla base nel duale). Però tale isomorfismo dipende dalla base scelta, non è canonico. Invece, ad esempio, sullo spazio biduale (il duale del duale) l'isomorfismo (se esiste, come per l'hilbert) è canonico. Tutto questo, per dire che non c'è un vettore duale naturalmente associato ad un vettore di un hilbert. Per queste cose, la notazione di dirac (bra-ket) è un po' ingannevole. Io sono un fisico (forse pure tu), ed ho visto le prime idee di analisi funzionale proprio per la meccanica quantisitca. In quel contesto, la notazione può indurre a pensare che c'è un vettore duale naturale: non è così.

Sul punto 3), hai ragione. Ultimamente, ho letto le discussioni di un po' di gente su en.wikipedia, che parla di quanto e quando cancellare. In pratica, c'è un rischio molto alto di fare un'enciclopedia con tante informazioni, ma poche ben organizzate e di buona qualità. Per cui, il lettore si trova a navigare in un mare di stub ed articoletti, con poche isole fatte da buoni articoli. Ed a sua volta, all'interno degli articoli naviga in tante frasi di dubbia correttezza, in cui trova pochi appigli ben fondati. Insomma, per farla breve, mi hanno convinto che spesso è meglio cancellare. MA dal momento che questo articolo ha invece un'impostazione seria e ben fondata, in effetti questa volta ho avuto la mano troppo pesante. gala.martin (spara fra') 02:51, 13 mag 2006 (CEST)

Sul punto 2). non per fare il pedante, ma e´ errato dire che il duale di un hilbert e´ l´hilbert stesso. quello che puoi dire e´ che c´e´ un isomorfismo canonico fra un hilbert e il suo duale. poi, sarebbe meglio evitare di parlare di basi per spazi di hilbert. o almeno sarebbe buona norma specificare di che tipo di basi si parla. Stefano, 16 aprile 2007, 15.03.

spazi euclidei e di hilbert

• L'articolo sugli spazi euclidei dice che uno spazio euclideo ha, per definizione, un numero finito di dimensioni.
• Qui si definisce uno spazio di Hilbert come uno spazio euclideo infinito dimensionale: qualcosa non torna!

gala.martin (spara fra') 21:36, 18 mag 2006 (CEST)

Sei d'accordo con me che esistono spazi euclidei infiniti: esempio gli spazi di funzioni continue sugli intervalli chiusi e quello delle successioni l2. In pratica gli spazi euclidei infiniti sono quelli che hanno la caratteristica di essere completi come lo spazio di Hilbert e quelli citati sopra.Vince 11:49, 19 mag 2006 (CEST)Vince

Dipende come definisci spazio euclideo. Hilbert= Banach (spazio vettoriale normato completo), in cui la norma viene da un prodotto scalare. Questo quindi può essere finito dimensionale o meno, separabile o meno. Questa definizione credo sia universale.

Euclideo, per me = spazio affine formato dai vettori di $\mathbb {R} ^{n}$ (o $\mathbb {C} ^{n}$). MA questa seconda nozione magari dipende dalle scuole. Dopodiché è vero che ogni Hilbert finito-dimensionale è (rappresentabile come) un euclideo. Dunque, ad esempio, si possono pensare gli Hilbert separabili come un'estensione infinito-dim degli spazi euclidei... però non lo metterei nella definizione, ma magari in un commento. gala.martin (spara fra') 15:32, 19 mag 2006 (CEST)

Struttura

Ho risolto alcune imprecisioni, e rimosso una parte gia' contenuta in norma. Ho inoltre inserito una struttura su cui e' possibile lavorare. Ho spezzato gli esempi in due sezioni: in una ci sono gli esempi piu' semplici: spazi euclidei ed un assaggio di spazi infinito dimensionali con l piccolo 2. Poi un po' di teoria, in aprticolare sugli spazi separabili, e quindi altri esempi un po' piu' avanzati. Mi sembra un'impostazione migliore che mettere spazi funzionali dopo la definizione. gala.martin (spara fra') 18:19, 19 giu 2006 (CEST)

Ho fatto anch'io dei ritocchi. Forse sarebbe meglio dire fin dall'inizio che chiamiamo "prodotto scalare" anche le forme hermitiane, per semplicità? Ylebru dimmela 12:27, 20 giu 2006 (CEST)

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