Discussione:Teorema delle funzioni implicite

ATTENZIONE!!!

quanto affermato qui (quoto; scusate ma non sono pratico della sintassi di Wiki):

BEGIN QUOTE Consideriamo una funzione differenziabile

$F:A\to \mathbb {R}$

definita su un insieme aperto $A\subset \mathbb {R} ^{2}$, e consideriamo l'insieme

$Z=\{(x,y)\in A:F(x,y)=0\}$.

Se $Z$ è non vuoto ci sarà un punto $(x_{0},y_{0})$ tale che

$F(x_{0},y_{0})=0\,$

Il teorema afferma che se $(x_{0},y_{0})$ non è un punto critico, ovvero

$\nabla F(x_{0},y_{0})\neq 0$,

allora esiste un intorno $U$ di $(x_{0},y_{0})$ tale che l'insieme $Z\cap U$ è il grafico di una funzione derivabile. Questo equivale a dire che è possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell'altra.

END QUOTE

E' FALSO

La dirrerenziabilità non è sufficiente. Per un controesempio, vedasi:

http://artsci.wustl.edu/~e503jn/files/Math%20Notes/InvFT.pdf

example 5, pag. 2

Fioravante Patrone

http://www.diptem.unige.it/patrone/default.htm

Esplicitare la funzione

Questo non significa che sia possibile "esplicitare" davvero una delle due incognite in funzione dell'altra ovvero che sia possibile trovare y = f(x) (o x = g(y)) in forma esplicita

questa cosa non mi convince proprio, credo che l'autore volesse dire che non è sempre possibile esplicitare f con funzioni elementari... ma detto così non vuol dire niente (oltre ad essere falso)--Giovanni Sferro (msg) 19:45, 6 giu 2011 (CEST)

Inoltre non viene dimostrato interamente il teorema: il fatto che la funzione trovata abbia come derivata il rapporto tra le derivate parziale di g(x,y) non è per nulla scontato dalla dimostrazione.

Titolo

...non sarebbe meglio al singolare "della funzione implicita"? Ylebru dimmela 09:44, 27 nov 2006 (CET)

Io l'ho conosciuto con il plurale, una ricerca con google mostra che entrambe le diciture sono ugualmente diffuse:

http://www.google.it/search?hl=it&sa=X&oi=spell&resnum=0&ct=result&cd=1&q=%22teorema+delle+funzioni+implicite%22&spell=1

http://www.google.it/search?hl=it&q=%22teorema+della+funzione+implicita%22&btnG=Cerca+con+Google&meta=

quindi è indifferente.--Pokipsy76 11:21, 28 nov 2006 (CET)

Caso in più dimensioni

Non è assolutamente vero che il sistema è lineare. Anzi, il teorema in questione ricade proprio nello studio dei sistemi non necessariamente lineari. Il sistema lineare è un caso particolare in cui le funzioni sono tutte lineari e la matrice jacobiana non diventa altro che la matrice $n\times (n+m)$ a coefficienti reali associata alla funzione $f\colon E\subset \mathbb {R} ^{n+m}\to \mathbb {R} ^{n}$. Lo studio di questo caso ricade nell'algebra lineare ed esiste già una pagina dedicata a ciò, ovvero quella che ricade alla voce "Sistema di equazioni lineari".

In effetti non si tratta di un sistema lineare, ho corretto. --^musaz † 12:25, 12 feb 2013 (CET)

X o Y invertibile

Non è che è la matrice Y che deve essere invertibile ? --79.25.54.63 (msg) 19:50, 6 feb 2022 (CET)

Per come è scritto, non mi pare.--Mat4free (msg) 13:00, 7 feb 2022 (CET)