Distribuzione di Panjer

In teoria delle probabilità con distribuzione di Panjer si indica una classe di quattro distribuzioni di probabilità discrete, composta dalle distribuzioni degenere, binomiale, di Pascal e di Poisson.

Le possibili scelte dei parametri e le corrispondenti distribuzioni

OrigineModifica

Le distribuzioni di Panjer vennero introdotte dallo statistico canadese Harry H. Panjer come particolari classi di distribuzioni che permettono di trovare soluzioni "in forma chiusa" ad un particolare problema di valutazione del rischio.

Per descrivere la distribuzione di probabilità della somma   di un numero aleatorio   di variabili aleatorie indipendenti   (le richieste) aventi una stessa distribuzione, è necessario calcolare più volte il prodotto di convoluzione di queste distribuzioni e non sempre esso può essere reso esplicito.

Panjer descrisse una classe di possibili distribuzioni di probabilità per   per le quali la distribuzione di probabilità di   può essere descritta in una forma più semplice; quando le variabili   seguono una distribuzione discreta allora la distribuzione di   può essere calcolata esplicitamente.[1]

DefinizioneModifica

Una distribuzione di Panjer con parametri   è una distribuzione di probabilità discreta con supporto i numeri naturali e le cui probabilità  sono definite per ricorsione come

 .

Non tutte le coppie   definiscono una distribuzione di probabilità: ogni termine della successione dev'essere positivo e la serie deve convergere. In particolare il primo fattore   non strettamente positivo dev'essere nullo (in questo caso la distribuzione avrà supporto su  .

Sotto queste condizioni la distribuzione è univocamente determinata dal termine  , che viene ricavato tramite una trasformazione lineare dalla condizione  :

 .

ClassificazioneModifica

A seconda dei valori assunti dai parametri  , la distribuzione di Panjer può essere degenere, binomiale, di Pascal o di Poisson.[2]

Distribuzione degenereModifica

Se   si ha la distribuzione degenere (con  ):

Panjer .

Distribuzione binomialeModifica

 
Funzione di probabilità della variabile casuale di Panjer come caso generale di una variabile casuale binomiale e casi intermedi.

Se   e   si ha la distribuzione binomiale:

Panjer , ovvero
Panjer .

Il rapporto tra a e b dev'essere un intero perché a è negativo ed al crescere di k il termine b/k diventa sempre più piccolo; i termini a+b/k diventeranno negativi e pertanto uno di essi deve essere nullo.

Distribuzione di PoissonModifica

Se   e   si ha la distribuzione di Poisson:

Panjer , ovvero
Panjer .

Distribuzione di PascalModifica

Se   e   si ha la distribuzione di Pascal (o binomiale negativa):

Panjer , ovvero
Panjer .

In questo caso si deve avere  : affinché la serie dei   converga serve che la successione sia definitivamente decrescente, ovvero che il rapporto a+b/k tra due termini consecutivi sia inferiore a 1 per ogni k abbastanza grande.

Distribuzione geometricaModifica

La distribuzione geometrica  , che è un caso particolare della distribuzione di Pascal,  , si ottiene dalla distribuzione di Panjer con parametri  .

ProprietàModifica

Anche se le quattro classi di distribuzioni hanno proprietà diverse, alcune loro proprietà possono essere espresse sotto la forma di distribuzioni di Panjer. Una variabile aleatoria X con distribuzione di Panjer di parameri   ha

  • speranza matematica  ;
  • varianza  .

Queste possono essere ottenute tramite i momenti centrali  , che si possono esprimere tramite ricorsione a partire da   e dalle relazioni

 ;

dalle quali si ricavano

 , che implica  , e
 , che implica  .

GeneralizzazioniModifica

La formula ricorsiva della distribuzione di Panjer può essere utilizzata per definire altre distribuzioni, ma in questo caso il supporto della distribuzione viene scelto arbitrariamente e le distribuzioni risultanti non sono più collegate al problema di valutazione del rischio studiato da Panjer.

Ad esempio la distribuzione logaritmica, definita sui numeri naturali positivi (senza lo zero) come

 

soddisfa la relazione

 .

Più in generale si possono considerare distribuzioni definite sugli interi superiori ad un numero n fissato, ovvero con supporto  .

Un'altra scelta è di troncare il supporto ad un intero  , ovvero di imporre

  e
  per  .

Per ogni scelta dei parametri   è sempre possibile scegliere dei sottoinsiemi   in modo che i termini   abbiano lo stesso segno e che la serie   converga (ad esempio scegliendo un solo elemento,  ). Riscalando i termini in modo che la loro somma sia 1 si ottiene una distribuzione di probabilità definita su  ; in ogni caso nessuna di queste distribuzioni, tranne eventualmente quella con supporto  , è una distribuzione di Panjer.

NoteModifica

  1. ^ (EN) Harry H. Panjer, Recursive evaluation of a family of compound distributions (PDF), in ASTIN Bulletin, vol. 12, n. 1, 1981, pp. 22–26.
  2. ^ (EN) Sundt, B. e Jewell, W. S., Further results on recursive evaluation of compound distributions (PDF), in ASTIN Bulletin, vol. 12, n. 1, 1981, pp. 27–39.

Voci correlateModifica

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