Equazione di Eulero
In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:
La sostituzione mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:
ove è un numero complesso e è un intero non negativo.
Nella sua forma più generale (non omogenea):
è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.
Equazione del secondo ordine
modificaL'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:
dove e sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.
Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:
differenziando si ha:
Sostituendo nell'equazione di partenza:
e riordinando i termini:
Si può ora risolvere in funzione di , ottenendo tre casi di particolare interesse:
- Caso 1: si hanno due radici distinte e .
- Caso 2: si ha una radice reale multipla.
- Caso 3: si hanno due radici complesse
Nel primo caso la soluzione è:
Nel secondo è:
Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione .
Nel terzo caso la soluzione è:
con:
Per e nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo ed utilizzando la formula di Eulero.
Bibliografia
modifica- (EN) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 10 maggio 2006, ISBN 978-0-470-08484-7.
- (EN) Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950.
- (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.
Voci correlate
modificaCollegamenti esterni
modifica- (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Eulero, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) N.Kh. Rozov, Euler equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.