Equazione di Eulero

In matematica, l'equazione di Eulero o equazione di Eulero-Cauchy è un'equazione differenziale ordinaria omogenea a coefficienti variabili della forma:

$x^{n}y^{(n)}(x)+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{n-1}xy'(x)+a_{n}y(x)=0$

La sostituzione $x=e^{u}$ mostra che la ricerca di soluzioni per questo tipo di equazioni differenziali si può ridurre alla risoluzione di un'equazione differenziale lineare a coefficienti costanti. Da questa osservazione segue che le soluzioni delle equazioni omogenee di Eulero si possono scrivere come combinazioni lineari di funzioni della forma:

$x^{\lambda }\log ^{m}x$

ove $\lambda$ è un numero complesso e $m$ è un intero non negativo.

Nella sua forma più generale (non omogenea):

$\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}y^{(i)}(x)=f(x)\qquad a_{n}\neq 0$

è stata studiata da Eulero a partire dal 1740.

Equazione del secondo ordine

L'equazione di Eulero più comune è quella di secondo grado:

$x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=0$

dove $a_{1}$ e $a_{2}$ sono numeri reali. Viene utilizzata in svariati contesti, ad esempio nello studio dell'equazione di Laplace.

Assumendo che l'equazione ammetta una soluzione banale del tipo:

$y=x^{m}$

differenziando si ha:

${\frac {dy}{dx}}=mx^{m-1}\qquad {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=m(m-1)x^{m-2}$

Sostituendo nell'equazione di partenza:

$x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+a_{1}x(mx^{m-1})+a_{2}(x^{m})=0$

e riordinando i termini:

$m^{2}+(a_{1}-1)m+a_{2}=0$

Si può ora risolvere in funzione di $m$, ottenendo tre casi di particolare interesse:

• Caso 1: si hanno due radici distinte $m_{1}$ e $m_{2}$.
• Caso 2: si ha una radice reale $m$ multipla.
• Caso 3: si hanno due radici complesse $m_{1,2}=\alpha \pm i\beta$

Nel primo caso la soluzione è:

$y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}$

Nel secondo è:

$y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}$

Per ottenere questa soluzione si deve applicare il metodo di riduzione dell'ordine dopo aver trovato una soluzione $y=x^{m}$.

Nel terzo caso la soluzione è:

$y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))$

con:

$\alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\qquad \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)$

Per $c_{1}\,$ e $c_{2}\,$ nel piano reale. Questa forma si ottiene ponendo $x=e^{t}$ ed utilizzando la formula di Eulero.

Bibliografia

• (EN) Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Wiley, 10 maggio 2006, ISBN 978-0-470-08484-7.
• (EN) Valiron, G. The Geometric Theory of Ordinary Differential Equations and Algebraic Functions. Brookline, MA: Math. Sci. Press, 1950.
• (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, p. 120, 1997.

Voci correlate

• Equazione differenziale ordinaria
• Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Eulero, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) N.Kh. Rozov, Euler equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.