Equazione di Legendre

equazione differenziale lineare del secondo ordine

In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine

Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con , e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:

L'equazioneModifica

Nella forma più generale:

 

oppure:

 

Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:

 

dove   e   sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.

L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:

 

con la condizione al contorno:

 

dove   è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari  , ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:

 

da cui, sostituendo e moltiplicando per   si ottiene:

 

dalla quale si vede che deve essere:

 

Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a   con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in  :

 

mentre si vede che la parte in   deve soddisfare la relazione:

 .

Per risolvere quest'ultima converrà fare un cambiamento di variabile e sostituire   e si ritrova:

 

Nella forma:

 

è a sua volta un caso particolare del problema di Sturm-Liouville.

BibliografiaModifica

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