Equazione di Legendre

In matematica, l'equazione di Legendre, il cui nome si deve a Adrien-Marie Legendre, è l'equazione differenziale lineare del secondo ordine

(1-x^{2})y''-2xy'+ky=0\qquad x\in (-1,1).

Si tratta di un problema di Sturm-Liouville con $p(x)=1-x^{2}$ , $q(x)=0$ e coefficiente uguale a 1. Si può scrivere anche nella forma:

((1-x^{2})y')'+ky=0

L'equazione

Nella forma più generale:

(1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})-\alpha ^{2})y=0

oppure:

(1-x^{2})^{2}y''-2x(1-x^{2})y'+((l^{2}+l)(1-x^{2})+\alpha ^{2})y=0

Le loro soluzioni generali, chiamate armoniche sferiche, sono esprimibili come combinazione lineare:

y(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)

dove $y_{1}(x)$ e $y_{2}(x)$ sono soluzioni parziali linearmente indipendenti, chiamate funzioni sferiche.

L'equazione di Legendre è legata all'equazione di Laplace in coordinate sferiche:

{\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }^{2}}}+\cot(\theta ){\frac {\partial {Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\theta }}}+{\frac {1}{\sin ^{2}{\theta }}}{\frac {\partial ^{2}{Y(\theta ,\varphi )}}{\partial {\varphi }^{2}}}+l(l+1)Y(\theta ,\varphi )=0

con la condizione al contorno:

Y(\theta ,\varphi +2\pi )=Y(\theta ,\varphi )

dove $l$ è un intero positivo. Si tratta di un classico problema fisico a simmetria sferica, trattato nelle coordinate polari $r,\theta ,\varphi$ , ed è facilmente risolubile tramite il metodo della separazione delle variabili. Cioè, supponendo che la soluzione sia una funzione data dal prodotto di due funzioni indipendenti:

Y(\theta ,\phi )=\Theta (\theta )\Phi (\varphi )

da cui, sostituendo e moltiplicando per ${\frac {\sin ^{2}{\theta }}{\Theta \Phi }}$ si ottiene:

\sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )+{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}=0

dalla quale si vede che deve essere:

\sin ^{2}{\theta }{\frac {\Theta ^{''}}{\Theta }}+\sin(\theta )\cos(\theta ){\frac {\Theta ^{'}}{\Theta }}+l(l+1)\sin ^{2}(\theta )=-{\frac {\Phi ^{''}}{\Phi }}={\text{costante}}

Ricordando poi la condizione di periodicità, la costante di separazione dovrà essere pari a $-\alpha ^{2}$ con m numero intero. Si ha dunque come soluzione della parte in $\Phi$ :