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In matematica, per separazione delle variabili o metodo di Fourier si intende una strategia risolutiva per equazioni differenziali ordinarie e alle derivate parziali in cui è possibile riscrivere l'equazione in modo che due date variabili compaiano l'una al membro di destra e l'altra al membro di sinistra dell'equazione.

Indice

Equazioni differenziali ordinarieModifica

Si supponga che un'equazione differenziale ordinaria (ODE) si possa scrivere nella forma:

 

con  . Se   si possono riordinare i termini:

 

in modo che le variabili   e   siano separate ognuna in uno dei due membri.

Una delle equazioni più significative a cui si applica il metodo è  , la crescita esponenziale.

EsempioModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione logistica.

La crescita di una popolazione è spesso modellata da un'equazione differenziale del tipo:

 

dove   è la popolazione in funzione del tempo  ,   è il suo tasso di crescita e   è la capacità portante dell'ambiente. Riordinando i termini e integrando:

 

Per valutare l'integrale a sinistra si semplifica la frazione:

 

e quindi la si decompone in fratti semplici:

 

Si ha quindi:

 

Uguagliando gli integrandi:

 

da cui:

 

per le proprietà dei logaritmi:

 

Si ha:

 

e quindi:

 

Sia  . Allora:

 

che si può riscrivere:

 

da cui si ricava:

 

Quindi la soluzione all'equazione logistica è:

 

Per trovare  , sia   e  . Si ha:

 

Notando che  , risolvendo per   si ha:

 

Equazioni alle derivate parzialiModifica

Il metodo è utilizzato per affrontare un grande numero di equazioni differenziali alle derivate parziali, come l'equazione delle onde, l'equazione del calore, l'equazione di Laplace o l'equazione di Helmholtz.

Caso omogeneoModifica

Data l'equazione del calore in una dimensione:

 

con condizione al contorno:

 

si cerca di trovare una soluzione   non identicamente nulla che soddisfa le condizioni al contorno e tale che sia un prodotto in cui la dipendenza da   e   è separata, ovvero:

 

Sostituendo   nell'equazione e usando la regola del prodotto:

 

Dato che il membro alla destra dipende solo da   e quello alla sinistra solo da  , entrambi sono uguali ad una qualche costante  :

 

dove   è autovalore di entrambi gli operatori differenziali, con   e   le rispettive autofunzioni.

Per mostrare che non vi sono soluzioni per  , si osserva inizialmente che per   esistono due numeri reali   e   tali che:

 

Utilizzando le condizioni al contorno si ha che  , da cui si ha  , che implica che   è nulla. Supponendo  , del resto, in tal caso esistono due numeri reali   e   tali che:

 

Dal fatto che   si conclude in modo analogo che   è nulla. Quindi, deve essere  , ed esistono  ,   e   tali che:

 

Sfruttando nuovamente  , si ha   e che per qualche intero positivo   si verifica:

 

Questo risolve l'equazione nel caso in cui la dipendenza di   ha la forma  . In generale, la somma di soluzioni all'equazione del calore che soddisfano le condizioni al contorno sono soluzioni che soddisfano anche questo caso particolare, e quindi una soluzione completa è data da:

 

dove   sono coefficienti determinati dalla condizione iniziale.

Se la condizione iniziale è:

 

si ottiene:

 

che è l'espansione in serie di seni di  . Moltiplicando ambo i membri per   e integrando nell'intervallo   si ha:

 

Questo metodo richiede che le autofunzioni di  , che in tal caso sono:

 

siano ortogonali e siano una base completa. Ciò è garantito in generale dalla teoria di Sturm-Liouville.

Caso non omogeneoModifica

Si consideri l'equazione non omogenea:

 

con le medesime condizioni iniziali di quella omogenea. Le funzioni  ,   e   possono essere espanse in serie di seni:

 
 
 

dove   e   possono essere calcolati per integrazione, mentre   deve essere determinato. Sostituendo le espansioni di   e   nell'equazione non omogenea e considerando l'ortogonalità delle funzioni seno si ottiene:

 

che è una successione di equazioni differenziali lineari che possono essere risolte facilmente con alcuni metodi quali il fattore di integrazione o la trasformata di Laplace. Alla fine si ottiene:

 

Il metodo può essere utilizzato anche per coordinate curvilinee ortogonali, anche se con alcune differenze rispetto alle coordinate cartesiane.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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