Equazione di Picard-Fuchs

In matematica, per equazione di Picard-Fuchs si intende una equazione differenziale ordinaria lineare le cui soluzioni descrivono i periodi delle curve ellittiche. Prende il suo nome dai matematici Émile Picard e Lazarus Immanuel Fuchs.

In geometria algebrica questa equazione è un caso molto speciale del fenomeno generale della connessione di Gauss-Manin.

Definizione

Sia:

$j={\frac {g_{2}^{3}}{g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}}}$

il j-invariante con $g_{2}$ e $g_{3}$ invarianti modulari della curva ellittica nella forma di Weierstrass:

$y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}$

Si osserva che il j-invariante è un isomorfismo dalla superficie di Riemann $H/\Gamma$ alla sfera di Riemann $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$, dove $H$ denota il semipiano superiore e $\Gamma$ il gruppo modulare. Con tali notazioni l'equazione di Picard-Fuchs ha la forma:

${\frac {d^{2}y}{dj^{2}}}+{\frac {1}{j}}{\frac {dy}{dj}}+{\frac {31j-4}{144j^{2}(1-j)^{2}}}y=0$

Servendosi della Q-forma si ottiene:

${\frac {d^{2}f}{dj^{2}}}+{\frac {1-1968j+2654208j^{2}}{4j^{2}(1-1728j)^{2}}}f=0$

Soluzioni

L'equazione si può porre in forma di equazione differenziale ipergeometrica, e due sue soluzioni linearmente indipendenti sono chiamate periodi delle funzioni ellittiche. Il rapporto dei due periodi è $\tau$, la coordinata standard per il semipiano superiore.

L'equazione di Picard-Fuchs si può porre nella forma di equazione differenziale di Riemann, e di conseguenza le sue soluzioni possono essere lette direttamente in termini di funzioni P di Riemann. Si ottiene:

$y(j)=P\left\{{\begin{matrix}0&1&\infty &\;\\{1/6}&{1/4}&0&j\\{-1/6\;}&{3/4}&0&\;\end{matrix}}\right\}$

Identità

Questa soluzione soddisfa l'equazione differenziale:

$(S\tau )(j)={\frac {3}{8(1-j)}}+{\frac {4}{9j^{2}}}+{\frac {23}{72j(1-j)}}$

dove $(Sf)(x)$ denota la derivata schwarziana di $f$ rispetto a $x$.

Bibliografia

• (EN) J. Harnad and J. McKay, Modular solutions to equations of generalized Halphen type, Proc. R. Soc. London A 456 (2000), 261-294
• (EN) J. Harnad, Integrability: The Seiberg-Witten and Witham Equation, H.W. Braden and I.M. Krichever, Gordon and Breach, Amsterdam (2000)

Voci correlate

• Connessione di Gauss-Manin
• Derivata schwarziana