Equazione ipergeometrica

In matematica, l'equazione ipergeometrica è una equazione differenziale ordinaria lineare ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann. Le sue soluzioni sono dette funzioni ipergeometriche, e rivestono grande importanza in matematica. Ogni equazione differenziale ordinaria del secondo ordine con al massimo tre singolarità regolari può essere trasformata nell'equazione ipergeometrica.

L'equazione ha la forma:

ovvero:

con , , e variabili complesse o variabili formali; in genere è opportuno considerare , e come parametri costanti che caratterizzano una famiglia di equazioni e di soluzioni. L'equazione possiede singolarità regolari, in 0,1 e .

SoluzioniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Serie ipergeometrica.

Generalmente si può facilmente ricavare questa equazione dall'equazione di Papperitz-Riemann, ma è possibile dimostrare che ogni equazione fuchsiana con tre punti di singolarità fuchsiane può sempre essere ricondotta alla ipergeometrica. Se si riesce a padroneggiare questa riconduzione si ha il vantaggio di conoscere già le soluzioni di quest'ultima e poter ricavare facilmente le soluzioni della prima.

Si usa spesso esprimere la soluzione tramite il simbolo P di Riemann:

 

L'espressione esplicita di una prima soluzione   si può determinare esprimendola come serie di potenze:

 

spostando il problema all'analisi dei coefficienti di tale serie, ovvero alle soluzioni di un sistema numerabile di equazioni algebriche nelle incognite  . Sostituendo e trovando una prima soluzione per i   si ottiene una prima soluzione del tipo:

 

con   e  ; qui si sono utilizzati fattoriali crescenti come  .

In maniera analoga si può ricavare la seconda soluzione  , linearmente indipendente da   solo se gli esponenti (o la loro parte reale se sono complessi) non differiscono per numeri interi:

 

con   e  .

Nel caso in cui gli esponenti differiscano per interi si ha una seconda soluzione di tipo logaritmico:

 

Relazioni tra soluzioni di equazioni ipergeometricheModifica

Sfruttando le proprietà di trasformazione del simbolo P di Riemann si può facilmente ricavare delle relazioni tra le soluzioni dell'Equazione Ipergeometrica. La prima che andremo ad analizzare va sotto il nome di relazione di autotrasformazione:

 

che risulta valida anche per   numero intero positivo, per motivi di continuità. Un'altra relazione è la prima delle formule di Bolza:

 

Derivata n-esimaModifica

Vale la seguente formula per la derivata n-esima di una funzione ipergeometrica:

 

Integrali ipergeometriciModifica

Risolvendo l'integrale complesso (integrale ipergeometrico):

 

si ottiene il risultato:

 

dove   denota la funzione gamma.

Questo risultato consente di vedere che la funzione ipergeometrica ammette la rappresentazione integrale (di Eulero):

 

Inoltre utilizzando quest'ultima relazione si ricava facilmente il valore della funzione ipergeometrica nel punto  :

 

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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