Gruppo modulare

In matematica, il gruppo modulare è un oggetto fondamentale di studio in teoria dei numeri, geometria, algebra e in molte altre aree della matematica. Il gruppo modulare può essere rappresentato come un gruppo di trasformazioni geometriche o come un gruppo di matrici.

DefinizioneModifica

Il gruppo modulare   è il gruppo delle trasformazioni lineari fratte del semipiano complesso superiore che hanno la forma

 

dove  ,  ,   e   sono interi e  . L'operazione di gruppo è la composizione di funzioni. Gli elementi del gruppo sono detti trasformazioni modulari.

Questo gruppo di trasformazioni è isomorfo al gruppo lineare speciale   quozientato con il suo centro  , dove   è la matrice identità. Ciò equivale a dire che il gruppo modulare è isomorfo al gruppo speciale lineare proiettivo  , che consiste nelle matrici

 

dove  ,  ,   e   sono interi,   e le matrici   e   sono considerate uguali.

PresentazioneModifica

Le trasformazioni

 
 

generano il gruppo modulare, cioè ogni elemento di   può essere scritto (in modo non unico) come la composizione di potenze di   e  .

Geometricamente   rappresenta l'inversione rispetto alla circonferenza unitaria seguita dalla riflessione rispetto alla retta  , mentre   rappresenta la traslazione unitaria a destra.

I generatori   e   soddisfano le relazioni   e  . Si dimostra[1] che queste sono un insieme completo di relazioni, quindi il gruppo modulare ha presentazione

 

NoteModifica

  1. ^ Robert C. Gunning, Lectures on Modular Forms, Princeton, NJ, Princeton University Press, 1962, pp. 5-7, ISBN 978-0-691-07995-0.

Voci correlateModifica

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