Equazione di Sylvester

L'equazione di Sylvester, spesso incontrata in teoria del controllo, è un'equazione matriciale della forma

dove sono matrici di dimensione . sono note. Il problema consiste nel trovare . L'equazione di Sylvester è un caso particolare dell'equazione di Lyapunov continua (quando la matrice A è hermitiana).

Esistenza e unicità della soluzioneModifica

Usando il prodotto di Kronecker e l'operatore di vettorializzazione  , si può riscrivere l'equazione nella forma

 

dove   è la matrice identità di dimensione  . In questa forma, l'equazione di Sylvester può essere vista come un sistema lineare di dimensione  .[1]

Se   e   in   e   sono le forme canoniche di Jordan rispettivamente di   e  , e   e   sono rispettivamente i loro autovalori, si può scrivere

 

Dato che   è una matrice triangolare superiore con   sulla diagonale , la matrice a sinistra dell'equazione è singolare se e solo se esistono   e   tali che  .

Quindi, si è provato che l'equazione di Sylvester ha un'unica soluzione se e solo se   e   non hanno autovalori in comune. È inoltre possibile provare che se la matrice   è di Hurwitz, la soluzione dell'equazione di Sylvester, se esiste, è la matrice gramiana di controllabilità.

Soluzioni numericheModifica

Un classico algoritmo per la risoluzione numerica dell'equazione di Sylvester è l'algoritmo di Bartels-Stewart, che consiste nel trasformare le matrici   e   nella loro decomposizione di Schur tramite un algoritmo QR e poi risolvere il sistema triangolare ottenuto sostituendo all'indietro. Questo algoritmo, il cui costo computazionale è O  operazioni aritmetiche, viene utilizzato, tra i tanti, da LAPACK e dalla funzione lyap in GNU Octave.

NoteModifica

  1. ^ Tuttavia, questo espediente è utile solo ai fini della dimostrazione. Una soluzione numerica basata su questo metodo è computazionalmente costosa e può essere mal condizionata

BibliografiaModifica

  • J. Sylvester, Sur l'equations en matrices  , C.R. Acad. Sci. Paris, 99 (1884), pp. 67 – 71, pp. 115 – 116.
  • R. H. Bartels and G. W. Stewart, Solution of the matrix equation  , Comm. ACM, 15 (1972), pp. 820 – 826.
  • R. Bhatia and P. Rosenthal, How and why to solve the operator equation   ?, Bull. London Math. Soc., 29 (1997), pp. 1 – 21.
  • S.-G. Lee and Q.-P. Vu, Simultaneous solutions of Sylvester equations and idempotent matrices separating the joint spectrum, Linear Algebra and its Applications, 435 (2011), pp. 2097 – 2109.

Voci correlateModifica

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