Decomposizione di Schur

In algebra lineare, la decomposizione di Schur o triangolazione di Schur è un importante procedimento di fattorizzazione di una matrice. Esso prende il nome dal matematico tedesco Issai Schur.

Enunciato

Sia A una matrice quadrata di numeri complessi; questa A può essere decomposta come

$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {U} \mathbf {Q} ^{h}$

dove Q è una matrice unitaria, Q^h denota la trasposta coniugata di Q e U denota una matrice triangolare superiore le cui entrate diagonali sono esattamente gli autovalori di A. La decomposizione di Schur non è unica.

Variante reale

Nel caso in cui A sia a valori reali posso ottenere una decomposizione alternativa, di sole matrici reali, del tipo

$\mathbf {A} =\mathbf {Q} \mathbf {U'} \mathbf {Q} ^{t}$

Q è ancora una volta unitaria, Q^t la trasposta di Q e U' una matrice triangolare a blocchi sulla diagonale. I blocchi di dimensione 1 sono costituiti dagli autovalori reali, i blocchi di dimensione 2 dalla coppia di autovalori complessi $z$ e ${\bar {z}}$ posti nella forma seguente:

${\begin{bmatrix}Re(z)&Im(z)\\-Im(z)&Re(z)\\\end{bmatrix}}$

Note

Se A è una matrice normale, allora U è ancora una matrice diagonale e i vettori colonna di Q sono gli autovettori di A e la decomposizione di Schur è chiamata decomposizione spettrale.

Inoltre, se A è definita positiva, la decomposizione di Schur di A coincide con la decomposizione ai valori singolari della matrice.

L'individuazione computazionale di tale decomposizione è un problema ben condizionato, a differenza della Forma canonica di Jordan.

Bibliografia

• D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l'Algebra Lineare, Zanichelli, Bologna 1988.

Voci correlate

• Analisi numerica
• Decomposizione di Cholesky
• Decomposizione di Crout
• Decomposizione di una matrice