Matrice di Hurwitz

In matematica, una matrice quadrata è chiamata matrice di Hurwitz se tutti gli autovalori hanno parte reale negativa. Per ogni autovalore $\lambda _{i}$ della matrice di Hurwitz $A$ l'equazione differenziale:

${\dot {x}}=Ax$

è stabile, ovvero $x(t)\to 0$ per $t\to \infty$.

Se $G(s)$ è una (matrice di valori) di una funzione di trasferimento, $G$ è chiamata talvolta funzione di trasferimento "di Hurwitz" se i poli di tutti gli elementi della $G$ hanno parte reale negativa. È noto che non è necessario che la matrice $G(s),$ sia una matrice di Hurwitz e non è necessario che sia necessariamente quadrata. La connessione è che se la matrice $A$ è una matrice di Hurwitz, allora il sistema dinamico:

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

è una funzione di trasferimento di Hurwitz.

Polinomi

Dato un polinomio reale:

$p(z)=a_{0}z^{n}+a_{1}z^{n-1}+\cdots +a_{n-1}z+a_{n}$

la matrice di Hurwitz corrispondente al polinomio $p$ è la matrice quadrata di dimensione $n\times n$ data da:

$H={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}&\dots &\dots &\dots &0&0&0\\a_{0}&a_{2}&a_{4}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\0&a_{1}&a_{3}&&&&\vdots &\vdots &\vdots \\\vdots &a_{0}&a_{2}&\ddots &&&0&\vdots &\vdots \\\vdots &0&a_{1}&&\ddots &&a_{n}&\vdots &\vdots \\\vdots &\vdots &a_{0}&&&\ddots &a_{n-1}&0&\vdots \\\vdots &\vdots &0&&&&a_{n-2}&a_{n}&\vdots \\\vdots &\vdots &\vdots &&&&a_{n-3}&a_{n-1}&0\\0&0&0&\dots &\dots &\dots &a_{n-4}&a_{n-2}&a_{n}\end{pmatrix}}$

Nel 1895 Adolf Hurwitz ha stabilito (criterio di Routh-Hurwitz) che un polinomio è stabile (ovvero le radici hanno parte reale strettamente negativa) se e solo se tutti i minori principali di guida della matrice di $H(p)$ sono positivi:

${\begin{aligned}\Delta _{1}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}\end{vmatrix}}&&=a_{1}>0\\[2mm]\Delta _{2}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}\\a_{0}&a_{2}\\\end{vmatrix}}&&=a_{2}a_{1}-a_{0}a_{3}>0\\[2mm]\Delta _{3}(p)&={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{3}&a_{5}\\a_{0}&a_{2}&a_{4}\\0&a_{1}&a_{3}\\\end{vmatrix}}&&=a_{3}\Delta _{2}-a_{1}(a_{1}a_{4}-a_{0}a_{5})>0\end{aligned}}$

e così via. I minori $\Delta _{k}(p)$ sono detti determinanti di Hurwitz.

Bibliografia

• (EN) Hassan K. Khalil (2002). Nonlinear Systems. Prentice Hall.
• (EN) Siegfried H. Lehnigk, On the Hurwitz matrix, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP), May 1970
• (EN) Hurwitz-Radon matrices revisited: From effective solution of the Hurwitz matrix equations to Bott periodicity, in Mathematical Survey Lectures 1943–2004, Springer Berlin Heidelberg, 2006
• Bernard A. Asner, Jr., On the Total Nonnegativity of the Hurwitz Matrix, SIAM Journal on Applied Mathematics, Vol. 18, No. 2 (Mar., 1970)
• (EN) Dimitar K. Dimitrov and Juan Manuel Peña, Almost strict total positivity and a class of Hurwitz polynomials, Journal of Approximation Theory, Volume 132, Issue 2 (February 2005)

Voci correlate

• Criterio di Routh-Hurwitz
• Determinante di Hurwitz
• Stabilità interna

Collegamenti esterni

• matrice di Hurwitz, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) E.N. Kuz'min, Routh-Hurwitz criterion, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) Hurwitz matrix, in PlanetMath.