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In matematica, nel campo dell'algebra lineare, il prodotto di Kronecker, indicato con , è una operazione tra due matrici di dimensioni arbitrarie, sempre applicabile, al contrario dell'altra più usuale moltiplicazione di matrici.

DefinizioneModifica

Se A è una matrice m×n e B è una matrice p×q, allora il loro prodotto di Kronecker   è una matrice mp×nq definita a blocchi nel modo seguente:

 

Cioè, esplicitando ogni termine:

 

Notare che questo prodotto non è un'estensione della sopra citata moltiplicazione "righe per colonne", in quanto la moltiplicazione tra una matrice 3×2 e una 2×3 produce una matrice 6×6, e non una 3×3.

EsempioModifica

 

ProprietàModifica

Bilinearità e associativitàModifica

Il prodotto di Kronecker è un caso speciale di prodotto tensoriale, dunque è bilineare e associativo:

  (se B e C hanno la stessa dimensione)
  (se A e B hanno la stessa dimensione)
  (k scalare)
 

Questo prodotto non è commutativo, tuttavia   e   sono equivalenti per permutazione, cioè esistono matrici di permutazione P e Q tali che  . Se A e B sono quadrate, allora sono simili per permutazione, cioè vale che P = QT

Prodotto mistoModifica

Se A, B, C e D sono matrici tali che esiste il prodotto righe per colonne tra A e C e tra B e D, allora esiste anche   e vale che

 .

Ne segue che   è invertibile se e solo se lo sono A e B e l'inversa è data da  

SpettroModifica

Siano A e B quadrate di ordine n e q rispettivamente e siano λ1, ..., λn gli autovalori di A, μ1, ..., μq quelli di B. Allora gli autovalori di   sono

 

Ne segue che la traccia è   e che il determinante è  .

Valori singolariModifica

Siano A e B matrici rettangolari con valori singolari non nulli, rispettivamente  , i=1,..,rA e  , j=1,..,rB.

Allora il prodotto   ha rArB valori singolari che sono esattamente  , i=1,..,rA, j=1,..,rB.

Dal momento che il rango di una matrice è uguale al numero di valori singolari non nulli, allora è  .

Relazioni col prodotto tensoriale astrattoModifica

Il prodotto di Kronecker tra matrici corrisponde al prodotto tensoriale astratto di mappe lineari. Specificatamente, se le matrici A e B rappresentano le trasformazioni lineari V1 → W1 e V2 → W2, allora la matrice   rappresenta il prodotto tensoriale tra la due mappe V1   V2 → W1   W2.

Applicazioni al graph matchingModifica

Se   e   sono le matrici di adiacenza di due grafi non pesati, allora   è la matrice di adiacenza di un grafo, detto di associazione, i cui vertici corrispondono ad assegnamenti fra i vertici dei due grafi originali e le cui clique massime/massimali corrispondono a match massimi/massimali fra i due grafi originali.

Equazioni matricialiModifica

Il prodotto di Kronecker può essere usato per la rappresentazione di alcune equazioni matriciali. Si consideri ad esempio l'equazione AXB=C, dove A,B e C sono matrici date e X è incognita. Possiamo riscrivere tale equazione come

 

dove se X è di ordine m×n, vec(X) denota il vettore di dimensione m×n formato dalle entrate di X scritte ordinatamente per colonna, cioè

 .

Dalle proprietà enunciate finora, ne viene che l'equazione AXB=C ha un'unica soluzione se e solo se A e B sono non singolari.

StoriaModifica

Il prodotto di Kronecker prende il nome da Leopold Kronecker, ma ci sono poche prove che Kronecker sia stato il primo a definirlo e usarlo. In effetti, in passato è anche stato usato col nome di matrice di Zehfuss, da Johann Georg Zehfuss.

Collegamenti esterniModifica

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