Equazione fratta

Un'equazione si definisce frazionaria (o fratta) se è composta da almeno una frazione algebrica o, più semplicemente, se l'incognita compare a denominatore.[1] Un'equazione frazionaria univariata è della forma:

dove e sono polinomi generici, in questo caso, nella variabile

GradoModifica

Il grado di ogni polinomio che si trova al denominatore della frazione algebrica deve essere sempre maggiore di zero, altrimenti l'equazione si trasformerebbe in un'equazione intera. Ad esempio, data l'equazione:

 

il grado del denominatore è  

RisoluzioneModifica

La procedura risolutiva è la seguente:[2]

  • si riducono i denominatori dell'equazione a fattori irriducibili (o come si suol dire 'ai minimi termini') mediante fattorizzazione, utilizzando i prodotti notevoli e i raccoglimenti;
  • si trovano le condizioni di esistenza dell'equazione, imponendo che ciascun fattore al denominatore sia diverso da zero;
  • si effettuano passaggi algebrici affinché si possa avere una o più equazioni equivalenti a quella di partenza (cioè equazioni che hanno lo stesso insieme delle soluzioni);
  • si riduce il tutto a una semplice equazione intera;
  • si cerca la soluzione.

Campo di esistenzaModifica

Il campo di esistenza è l'insieme dei valori dell'incognita (o incognite) per i quali la frazione non perde significato. Ad esempio se in   il valore di   fosse   allora si avrebbe come denominatore   e la frazione non avrebbe significato. È quindi necessario porre come campo di esistenza  

EsempioModifica

Data l'equazione fratta:

 

notare anzitutto che dovrà essere   Moltiplicando entrambi i membri per il minimo comune multiplo   si ottiene così l'equazione di secondo grado:

 

che ha le due soluzioni   e   La seconda soluzione, però, annulla i due denominatori dell'equazione originale, e pertanto deve essere scartata. Quindi l'unica soluzione dell'equazione originale è  

NoteModifica

  1. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.46
  2. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8. p.47

BibliografiaModifica

  • Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.

Voci correlateModifica

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