In matematica, nella teoria delle equazioni differenziali lineari di variabile complessa, un punto fuchsiano, anche detto singolarità fucsiana o punto singolare regolare, è un tipo particolare di punto singolare in corrispondenza del quale le soluzioni dell'equazione crescono non più velocemente di un polinomio. Il nome si deve a Lazarus Fuchs.

Un'equazione differenziale ordinaria lineare omogenea definita nel piano complesso, di cui i coefficienti sono funzioni analitiche, è detta equazione fuchsiana se tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann.

Definizione

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Data un'equazione ordinaria lineare di n-esimo grado:

 

con   funzioni meromorfe nei punti  , i punti   sono punti singolari regolari se ogni soluzione cresce non più velocemente di un polinomio per  . Nello specifico, per ogni intervallo   con  , ogni soluzione   è vincolata dalla disuguaglianza:

 

per una qualche costante  . Il punto   è regolare se dopo il cambio di variabile   l'equazione ha una singolarità regolare nel punto  . Un punto singolare che non è regolare è detto punto singolare irregolare.

Le equazioni in cui tutti i punti singolari sono punti fuchsiani sulla sfera di Riemann sono dette equazioni fuchsiane. Si dice che l'equazione è di classe fuchsiana se i coefficienti hanno la forma:

 

con   punti distinti e   un polinomio di gradi minore di  .

Equazioni di secondo grado

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Nel caso di un'equazione del secondo ordine:

 

il punto   si dice un punto singolare se   o   hanno una singolarità isolata per  . Il punto singolare   si dice fuchsiano se   è al massimo un polo di ordine 1 e   è al massimo un polo di ordine 2. Se tutti i punti singolari dell'equazione differenziale sono fuchsiani, l'equazione è chiamata equazione fuchsiana.

Un esempio di equazione fuchsiana con tre punti fuchsiani è l'equazione di Papperitz-Riemann. Ogni equazione ordinaria di secondo grado con tre punti singolari sulla sfera di Riemann può essere ricondotta all'equazione ipergeometrica (che si ottiene dall'equazione di Papperitz-Riemann), mentre nel caso vi siano quattro punti singolari può essere ridotta alla forma dell'equazione di Heun.

Teorema di Fuchs

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Il teorema di Fuchs assicura che nell'intorno di un punto fuchsiano esiste sempre almeno una soluzione della forma:

 

dove   è la soluzione avente parte reale massima dell'equazione algebrica di secondo grado:

 

detta "equazione indiciale" o "caratteristica" dell'equazione differenziale, e la funzione   è una funzione olomorfa non nulla in  . I coefficienti dell'equazione indiciale si ricavano dai coefficienti   nel seguente modo:

 
 

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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