Equazione ipergeometrica confluente

In matematica, l'equazione ipergeometrica confluente o equazione di Kummer, da Ernst Kummer, è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine ottenuta a partire dall'equazione di Papperitz-Riemann facendo confluire due singolarità in un solo punto; è strettamente legata con l'equazione ipergeometrica e le sue soluzioni, le funzioni ipergeometriche. Ciascuna delle soluzioni dell'equazione ipergeometrica confluente è analogamente chiamata funzione ipergeometrica confluente.

Si individuano in particolare due soluzioni indipendenti, fornite da serie ipergeometriche: la prima è denotata con e viene detta funzione ipergeometrica di Kummer, mentre la seconda è denotata con e chiamata funzione di Whittaker, in riferimento a Edmund Taylor Whittaker, oppure anche funzione ipergeometrica confluente di Tricomi (da Francesco Tricomi) o funzione ipergeometrica di Gordon-Tricomi. Da notare che per funzione di Kummer si intende invece una funzione speciale non collegata alle precedenti.

L'equazioneModifica

L'equazione ipergeometrica confluente ha la forma:

 

dove  ,   e   sono variabili complesse (o variabili formali); in genere   e   sono considerati parametri che caratterizzano una famiglia di equazioni (e di funzioni di   loro soluzioni).

La funzione ipergeometrica di Kummer è data dalla serie ipergeometrica generalizzata:

 

dove:

 
 

è il fattoriale crescente. Le funzioni di Bessel, la funzione gamma incompleta, i polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre sono casi particolari della funzione ipergeometrica di Kummer.

La funzione di Whittaker (funzione ipergeometrica confluente di Tricomi) è data da:

 

Esiste una notazione alternativa per   (si veda il testo di Abramowitz e Stegun).

Casi particolariModifica

Vi sono molte funzioni speciali che possono essere espresse come caso speciale della funzione ipergeometrica confluente:

 
e anche:
 
che è un polinomio per   intero non positivo, oppure:
 
mentre   è un polinomio di Bessel per   intero e   è il polinomio generalizzato di Laguerre per   intero non-positivo.
 
 
 

Rappresentazioni integraliModifica

Se  , allora   può essere rappresentato con forma di integrale:

 

dove   è la funzione caratteristica della distribuzione Beta. Per   con parte positiva reale,   può essere ottenuto dalla trasformata di Laplace:

 

L'integrale definisce una soluzione nella parte destra del semipiano  .

Polinomi di LaguerreModifica

La funzione di Kummer può essere espressa in diversi modi come sviluppo in polinomi di Laguerre, ad esempio:

 

Teorema di moltiplicazioneModifica

Valgono i seguenti teoremi di moltiplicazione:

 

BibliografiaModifica

  • (EN) Arthur Erdélyi, Whilhelm Magnus, Fritz Oberhettinger, Francesco Tricomi (1953) Higher transcendental functions Vol. I, Krieger Publishing, Ristampa Mc Graw-Hill (1981), Chapter VI.
  • (EN) A. D. MacDonald Properties of the Confluent Hypergeometric Function (RLE Technical Report, MIT, 1948)
  • (FR) Francesco Tricomi (1960) Fonctions hypergéométriques confluentes Mémorial des sciences mathématiques, n° 140, Gauthiers-Villars, Parigi.
  • (EN) Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (1964): Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4, Capitolo 13.
  • (EN) Arfken, G. "Confluent Hypergeometric Functions." §13.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed. Orlando, FL: Academic Press, pp. 753-758, 1985.
  • (EN) Morse, P. M. and Feshbach, H. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, pp. 551-555, 1953.
  • (EN) Slater, L. J. Confluent Hypergeometric Functions. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1960.
  • (EN) Zwillinger, D. Handbook of Differential Equations, 3rd ed. Boston, MA: Academic Press, pp. 123-124, 1997.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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