Equivalenza sinistra-destra tra matrici

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, due matrici e sono SD-equivalenti quando esistono due matrici invertibili e tali che:

La sigla SD sta per equivalenza sinistra-destra.

La SD-equivalenza è una relazione di equivalenza, e induce quindi una partizione dell'insieme di tutte le matrici a valori in un campo . Si tratta di una relazione di equivalenza più semplice della più usata similitudine: due matrici risultano essere SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

DefinizioneModifica

Siano   e   due matrici  , Queste sono SD-equivalenti se esistono due matrici invertibili   e   (la prima  , la seconda  ) tali che:

 

RangoModifica

Il rango è un invariante completo per la SD-equivalenza: questo vuol dire che due matrici   sono SD-equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.

In particolare, ogni matrice   è SD-equivalente ad una matrice del tipo:

 

dove   è il rango di  ,   è la matrice identità   e   è la matrice nulla  .

Relazioni con le altre equivalenzeModifica

Due matrici simili sono anche SD-equivalenti. L'opposto non è però vero in generale. Ad esempio, le matrici costanti di un dato ordine multiple dell'identità sono tutte SD-equivalenti, mentre ciascuna di esse da sola costituisce una classe di similitudine; ancora due matrici con lo stesso rango ma con diverso determinante (oppure con autovalori differenti) sono SD-equivalenti ma non simili; evidenti coppie di queste matrici hanno la forma   con c  .

BibliografiaModifica

  • Marco Abate, Geometria, McGraw-Hill, 1996.

Voci correlateModifica

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