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In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

L'insieme delle matrici invertibili di dimensioni è un gruppo moltiplicativo rispetto all'ordinaria operazione di prodotto matriciale; tale struttura algebrica è detta Gruppo generale lineare ed è indicata con il simbolo .

Indice

DefinizioneModifica

Una matrice quadrata   è detta invertibile se esiste una matrice   tale che:[1]

 

dove   denota la matrice identità   e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice   è univocamente determinata da   ed è chiamata l'inversa di  , indicata con  .

Nella definizione, le matrici   e   hanno valori in un anello con unità.

Definizioni equivalentiModifica

Una matrice   è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se   ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia   una matrice quadrata   con valori in un campo   (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice   invertibile:

  • Esiste una matrice   tale che  .
  • Il determinante non è nullo:  .
  • Il rango di   è  .
  • La trasposta   è una matrice invertibile.
  • L'equazione   (con   e   vettori colonna in  ) ha solamente la soluzione banale  .
  • L'equazione   ha esattamente una soluzione per ogni   in  .
  • Le colonne di   sono linearmente indipendenti.
  • Le righe di   sono linearmente indipendenti.
  • Le colonne di   generano  .
  • Le colonne di   formano una base di  .
  • L'applicazione lineare   da   in   data da:   è biiettiva.
  • Il numero 0 non è un autovalore di  .
  •   è trasformabile nella matrice identità   tramite l'algoritmo di Gauss-Jordan.
  •   è trasformabile mediante algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice a scalini con   pivot.

ProprietàModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo generale lineare.
  • L'inversa di una matrice invertibile   è essa stessa invertibile, e si ha:[2]
 
  • Il prodotto di due matrici invertibili   e   è ancora invertibile, con inversa data da:
 

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili   costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare  .

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

  • Se   e   sono invertibili, l'equazione   ha una sola soluzione, data da  . Analogamente   ha come unica soluzione  .

Matrici realiModifica

Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici   è uno spazio vettoriale isomorfo a  , e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero, essendo l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio. Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

Matrice invertibile in un anelloModifica

Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

Sistemi lineariModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni lineari.

Se   è invertibile, l'equazione   ha una sola soluzione, data da  . Analogamente   ha come unica soluzione  .

Nel caso particolare in cui   e   abbiano dimensioni  , ovvero siano vettori colonna, l'equazione   rappresenta un sistema lineare, dove   è la matrice dei coefficienti.[3]

  è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.[4]

Calcolo della matrice inversaModifica

Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile  .

Matrici di ordine 2Modifica

La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile:

 

è la seguente:

 

Metodo della matrice dei cofattoriModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice dei cofattori e Cofattore (matematica).

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice   quadrata e invertibile:

 

la sua inversa   è la seguente:

 

dove   è il determinante di  , la matrice   è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) e l'esponente   indica l'operazione di trasposizione di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno   è il seguente:

 

Algoritmo di Gauss-JordanModifica

L'algoritmo di Gauss-Jordan, può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia   una matrice invertibile. Si costruisce la matrice   con   righe e   colonne affiancando   e la matrice identità  . A questo punto si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova  . Questo algoritmo trasforma la matrice   in una matrice a scalini, che sarà del tipo  . La matrice   così trovata è proprio l'inversa di  .

L'esempio seguente mostra che l'inversa di:

 

è la matrice:

 

Infatti:

 
 

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per  , nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per  , nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per   e la seconda per  . In questo modo si è partiti da una matrice di   e si è arrivati a  . Si ha che   è l'inversa di  .

Inversa di una matrice partizionataModifica

Data una matrice partizionata a blocchi:

 

in cui le sottomatrici sulla diagonale   e   sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di   risulta uguale a:

 

dove   è una matrice identità di ordine appropriato e:

 

ovvero:

 

con:

 

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 68
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 22
  3. ^ Un ragionamento analogo vale anche per  , ma qui   e   devono essere vettori riga.
  4. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 23

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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