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Similitudine fra matrici

classe di equivalenza di matrici

In algebra lineare, la similitudine fra matrici è un'importante relazione di equivalenza, che induce una partizione dell'insieme di tutte le matrici quadrate con righe e colonne a valori in un campo . In particolare, nella teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, due matrici si dicono simili quando rappresentano lo stesso endomorfismo rispetto a due basi diverse. Quindi ad ogni endomorfismo si può associare una classe di equivalenza di matrici simili.

Due matrici simili hanno gli stessi autovalori, rango, determinante e traccia. Non vale però il contrario: due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante, lo stesso rango e lo stesso polinomio caratteristico non sono necessariamente simili.

Indice

DefinizioneModifica

Due matrici quadrate   e   sono simili quando esiste una matrice invertibile   tale che:[1]

 

In particolare, la matrice identità e la matrice nulla sono simili solo a loro stesse.

Invarianti per similitudineModifica

Due matrici simili hanno lo stesso rango, determinante e traccia. Si dice quindi che rango, determinante e traccia sono invarianti per similitudine.

La dimostrazione dell'invarianza del determinante passa per il teorema di Binet:

 
 

Due matrici simili hanno inoltre lo stesso polinomio caratteristico e lo stesso polinomio minimo. Infatti, dalla definizione si ha che  , da cui si ricava il polinomio caratteristico:

 

e dal momento che   è uno scalare si può moltiplicare a sinistra e a destra di   per   e per  . Infatti:

 

Si ha quindi che:

 

da cui  .

Questo fatto comporta che due matrici simili abbiano anche gli stessi autovalori, infatti se   è un autovalore della matrice  , ed   è simile a  , si ha:

 

per qualche vettore   diverso da zero. Moltiplicando entrambi i membri della seconda uguaglianza a sinistra per   si ottiene:

 

per cui   è anche autovalore di   con autovettore  .

Due matrici con la stessa traccia, lo stesso determinante e lo stesso polinomio caratteristico non sono tuttavia necessariamente simili. Ad esempio:

 

non sono matrici simili.

Relazione con gli endomorfismiModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Diagonalizzabilità.

La relazione di similitudine fra matrici è usata soprattutto per la sua stretta relazione con la teoria degli endomorfismi di uno spazio vettoriale, riassunta nell'asserzione seguente: sia T un endomorfismo di uno spazio vettoriale. Le matrici associate a   rispetto a due basi diverse dello spazio sono simili.

Una matrice simile ad una matrice diagonale si dice diagonalizzabile. Lo studio della diagonalizzabilità di una matrice è un problema centrale in algebra lineare. Non tutte le matrici sono diagonalizzabili, ed a tal proposito sui campi reale e complesso la forma canonica di Jordan di una matrice quadrata   definisce una matrice triangolare   simile ad   che ha una struttura il più possibile vicina ad una matrice diagonale. In particolare, la matrice è diagonale se e solo se   è diagonalizzabile, altrimenti è divisa in blocchi detti blocchi di Jordan.

Particolare importanza riveste il caso in cui la matrice invertibile che definisce la relazione di similitudine è una matrice unitaria. Due matrici   e   sono unitariamente equivalenti se sono simili rispetto ad una matrice unitaria  , ovvero  . Ad esempio, le matrici hermitiane sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali reali, e le matrici normali sono unitariamente equivalenti alle matrici diagonali complesse.

NoteModifica

  1. ^ S. Lang, Pag. 115.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
  • F. Odetti, M. Raimondo, Elementi di Algebra Lineare e Geometria Analitica, ECIG, 1992, ISBN 88-7545-717-4.
  • (EN) Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.

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