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La parte in alto del diagramma mostra il profilo dell'intensità a due dimensioni di un fascio gaussiano che si propaga al di fuori. La curva blu sotto è la traccia dell'ampiezza di un campo elettrico come la funzione della distanza dal centro del fascio. La curva nera è la corrispondente funzione di intensità
GaussianBeamWaist.svg
12 modalità di Laguerre-Gauss
Il profilo di intensità di dodici modalità Hermite-Gaussiane

In ottica, un fascio di luce è detto gaussiano quando il suo profilo di intensità su un piano perpendicolare alla direzione di propagazione segue una distribuzione gaussiana. L'importanza nello studio dei fasci gaussiani sta nel fatto che ben descrivono, in termini ondulatori, la radiazione emessa da una sorgente laser; infatti molto spesso, specialmente nell'interazione con elementi ottici, l'approssimazione di considerare un fascio laser come un'onda piana non è valida.

Indice

Derivazione dell'equazione d'onda per fasci gaussianiModifica

Il punto di partenza sono ovviamente le equazioni di Maxwell dalle quali si ottiene, per il campo elettrico ad esempio, la nota equazione delle onde:

 

Ponendo  , che corrisponde a fissare la frequenza dell'onda elettromagnetica, si ottiene l'equazione di Helmholtz:

 

con   che in generale avrà una parte reale (responsabile della dispersione) ed una parte immaginaria (da cui originano l'assorbimento o l'amplificazione); per semplicità consideriamo il caso in cui   non dipende dalle coordinate.

L'esperienza comune insegna che la radiazione laser si propaga come un'onda approssimativamente piana, per la quale il flusso di energia avviene in una particolare direzione z, con una simmetria cilindrica intorno a questa direzione e l'energia associata concentrata prevalentemente in una regione limitata attorno all'asse individuato da questa direzione. Questo suggerisce di cercare per una componente del vettore campo elettrico ortogonale a z, una soluzione dell'equazione di Helmholtz nella forma:

 
 

dove   è la distanza dall'asse z. Tenendo conto della simmetria cilindrica del problema, è utile inoltre scrivere l'operatore laplaciano in questo modo

 

in questa scrittura   ha quindi il significato di operatore laplaciano trasverso. L'equazione di Helmholtz è dunque

 

Supponendo che la variazione lungo z sia sufficientemente bene descritta dalla sola derivata prima si può supporre che

 

e quindi trascurare la derivata seconda nell'equazione. L'equazione per le funzioni   e   diventa perciò

 

Affinché questa sia vera per ogni r dovranno annullarsi identicamente i coefficienti delle diverse potenze di r; questo conduce al sistema

 

Fasci gaussiani astigmaticiModifica

Il fascio gaussiano fondamentale   si può pensare ottenuto a partire dal prodotto di due soluzioni dipendenti da   e da   con lo stesso spot-size di cintola.  . Ci interessano ora dei fasci gaussiani il cui fattore gaussiano ha larghezza diversa su i due assi   e  . Ammettiamo inoltre che le posizioni delle cintole possano essere diverse. Questi prendono il nome di Fasci Gaussiani Astigmatici e la loro forma analitica, nel caso semplice in cui l'unica modulazione trasversale di ampiezza sia quella del fattore gaussiano, è la seguente:  .

Soluzione dell'equazione d'ondaModifica

Il sistema di equazioni differenziali appena scritto è derivato da un'equazione approssimata, ma se ne può trovare una soluzione esatta; introducendo una nuova funzione incognita   definita da  , dalla prima equazione si ha direttamente   che si integra in maniera immediata. Quindi introducendo una costante di integrazione  

 

Sostituendo questa nell'altra equazione si ottiene

 

La costante   si può determinare osservando che se si vuole che l'ampiezza di   decada allontanandosi dall'asse occorre avere   immaginario puro; in genere si pone  , con   lunghezza d'onda della luce;   ha le dimensioni di una lunghezza e il suo significato diverrà chiaro tra poco.

Finalmente l'espressione per il campo elettrico diventa

 

dove si sono definite le quantità

 

mentre il parametro   definito da   prende il nome di raggio di curvatura complesso, che contiene tutta l'informazione necessaria per lo studio della propagazione del fascio gaussiano.

La soluzione trovata prende il nome di fascio gaussiano fondamentale, per distinguerlo da altre soluzioni dette modi gaussiani di ordine superiore.

Intensità del fascioModifica

L'intensità trasportata dal fascio gaussiano fondamentale mediata su un periodo   è data da

 

Diametro del fascioModifica

Il parametro   rappresenta la distanza dall'asse z alla quale l'ampiezza del campo si riduce di un fattore   e l'intensità si riduce di  ; in inglese prende il nome di spot size (letteralmente "dimensione del punto") del fascio. In pratica rappresenta la metà del diametro dell'area intorno all'asse di propagazione del fascio in cui è concentrata la maggior parte della potenza.

A questo punto appare chiaro il significato di  , che rappresenta il minimo, per  , delle dimensioni trasverse del fascio gaussiano, cioè per   si ha il massimo di intensità. Il nome inglese è waist (letteralmente "cintura").

Parametro confocaleModifica

Per   la quantità   aumenta rispetto al minimo di un fattore  ;   prende di solito il nome di distanza di Rayleigh, mentre il parametro confocale è pari a  . È quella distanza per cui il raggio ancora non si è allargato significativamente e l'intensità media è diminuita solo di un fattore 2. Quando si ha a che fare con un fascio laser, rappresenta la lunghezza di riferimento con cui confrontare le distanze focali di eventuali sistemi ottici attraversati.

Raggio di curvaturaModifica

Per   il fronte d'onda di un fascio gaussiano può essere approssimato con un fronte d'onda sferico di raggio  . In   diverge, cioè il fronte d'onda è piano, mentre in valore assoluto è minimo per  ; a grande distanza dal punto di waist si può considerare  , cioè un'onda praticamente sferica.

Divergenza e fattore  Modifica

Anche   per   cresce linearmente con  ; l'angolo   formato tra l'asse z e la retta che approssima   prende il nome di divergenza angolare e si può dimostrare che un fascio gaussiano è quello che ha divergenza minima. In un laser reale la divergenza è sempre maggiore di questo valore limite, cioè il fascio generato da un laser reale non è mai esattamente gaussiano; nei laser per applicazioni scientifiche questo è espresso quantitativamente dal fattore  , che rappresenta il rapporto tra la divergenza effettiva e quella ideale; in laser di qualità elevata   può essere molto vicino a 1 e spesso dalle case costruttrici viene fornito un valore massimo garantito.

Propagazione di un fascio gaussiano attraverso un sistema otticoModifica

Usando il formalismo dell'ottica matriciale, la propagazione di un fascio gaussiano è descritta da una trasformazione del raggio di curvatura complesso; se la matrice che descrive il sistema è

 

allora il raggio complesso all'uscita del sistema   si ricava a partire da quello in ingresso   semplicemente scrivendo

 

oppure più convenientemente

 

questa formula è nota con il nome di Legge ABCD dell'ottica dei fasci gaussiani. È facile dimostrare tramite questa legge che nell'attraversare una lente o un sistema di lenti un fascio gaussiano è trasformato in un altro fascio gaussiano con parametri   e   modificati.

Focalizzazione di un fascio gaussianoModifica

Consideriamo un fascio gaussiano con distanza di Rayleigh   che incide nel punto di waist su di una lente sottile convergente (focale   positiva); il fascio gaussiano all'uscita dalla lente ha un punto di waist ad una distanza dalla lente data da

 

  coincide con   nell'ipotesi che  ; inoltre, sempre in questa ipotesi di corta lunghezza focale, si ha che il nuovo waist è

 

Per focalizzare un fascio gaussiano occorrono quindi lenti di focale corta rispetto alla distanza di Rayleigh.

BibliografiaModifica

  • Bahaa E. A. Saleh, Malvin Carl Teich, Fundamentals of Photonics, Second Edition, Wiley-Interscience, 2007. ISBN 9780471358329

Voci correlateModifica

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