Apri il menu principale

In analisi matematica, l'equazione di Helmholtz è un'equazione differenziale alle derivate parziali ellittica ottenuta a partire dall'equazione di d'Alembert cercando soluzioni che abbiano una dipendenza armonica dal tempo, cioè variabili nel tempo in modo sinusoidale.

Molte funzioni speciali sono ottenute cercando soluzioni dell'equazione di Helmholtz con il metodo di separazione delle variabili in coordinate curvilinee. Alcuni esempi sono le armoniche cilindriche, le funzioni paraboliche del cilindro e le armoniche sferiche.

Eisenhardt dimostrò nel 1934 che esistono solamente undici sistemi di coordinate curvilinee che permettono di trovare soluzioni dell'equazione di Helmholtz con il metodo di separazione delle variabili.

Indice

DefinizioneModifica

L'equazione di Helmholtz ha forma canonica:

 ,

dove   è l'operatore di Laplace,   è la velocità delle onde, e   il vettore d'onda. Si può vedere l'equazione di Helmholtz come un'equazione agli autovalori del laplaciano, e le soluzioni dell'equazione di Helmholtz come le autofunzioni del laplaciano.

L'equazione si può anche ottenere a partire dall'equazione delle onde imponendo che la soluzione sia del tipo:

 

Legame con l'equazione delle ondeModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazione delle onde.

L'equazione di Helmholtz può essere considerata come una versione indipendente dal tempo dell'equazione delle onde:

 

Assumendo che la funzione   si possa fattorizzare, ovvero si possano separare i termini dipendenti dal tempo ed i termini dipendenti dalla posizione:

 

e sostituendo tale espressione nell'equazione delle onde, si ottiene:

 

In tale equazione la dipendenza da   e   è separata nei due membri, e l'uguaglianza è valida nel caso generale se e solo se entrambi i membri sono costanti. Pertanto, si ottengono in tal modo due equazioni distinte per   e  :

 

dove si è posto il valore costante pari a   senza perdere generalità.

Riscrivendo la prima equazione si ottiene l'equazione di Helmholtz:

 

In modo analogo, sostituendo:

 

la seconda equazione diventa:

 

dove   è il vettore d'onda.

Soluzioni armonicheModifica

Le soluzioni dell'equazione di Helmholtz hanno la forma:

 

Tale espressione corrisponde alla soluzione armonica:

 

dove   e   sono costanti complesse arbitrarie che dipendono dalle condizioni al contorno e iniziali. L'uguaglianza è inoltre soggetta alla relazione di dispersione:

 

La soluzione temporale è quindi una combinazione lineare di seni e coseni, mentre quella spaziale dipende dalle condizioni al contorno.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85060070 · GND (DE4159528-2 · BNF (FRcb122894221 (data)
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica