Funzione generatrice dei momenti

La funzione generatrice dei momenti viene usata nella teoria della probabilità per caratterizzare in modo astratto le variabili casuali permettendo da un lato di estrarne agevolmente alcuni parametri (come il valore atteso e la varianza) dall'altro di confrontare due diverse variabili casuali e vedere il loro comportamento in condizioni limite.

La funzione generatrice dei momenti di una variabile casuale è definita come il valore atteso di , dove esso è finito (e ciò può accadere solo in un intorno dello 0, in cui vale 1 indipendentemente da ). Infatti tale valore atteso potrebbe essere infinito e in tal caso si dice semplicemente che non possiede funzione generatrice dei momenti.

DescrizioneModifica

Nel caso di variabili casuali discrete si ottiene:

 

mentre per la variabili casuali continue:

 

dove   con   e   denotano le funzioni di massa (densità nel caso continuo) della variabile casuale in questione.

Dalla funzione generatrice dei momenti è possibile ricavare i momenti semplici di ordine   centrati in zero derivando   volte   con   Ossia:

 
 
 

dalla seconda espressione sopra si può ad esempio ricavare la varianza.

TeoremiModifica

Se   sono variabili aleatorie indipendenti e   la loro somma:

 

allora la funzione generatrice dei momenti di   è il prodotto delle funzioni generatrici dei momenti delle singole  :

 

Un secondo teorema importante è il seguente: se due variabili casuali su uno stesso spazio di probabilità hanno stessa funzione generatrice dei momenti, allora le due variabili casuali coincidono.

BibliografiaModifica

  • Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003

Voci correlateModifica

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