Grafo di Cayley

In matematica, il grafo di Cayley è un grafo associato ad un gruppo, che traduce alcune proprietà algebriche del gruppo in proprietà metriche del grafo. Il grafo di Cayley è uno strumento centrale in topologia e nella teoria geometrica dei gruppi.

Il grafo di Cayley del gruppo libero su due generatori e è un albero infinito in cui ogni vertice è adiacente a quattro spigoli.

DefinizioneModifica

Sia   un gruppo e   un insieme di generatori per  . Il grafo di Cayley di   è un grafo costruito a partire da   e   nel modo seguente.[1]

  • I vertici del grafo sono gli elementi di  ,
  • gli spigoli del grafo sono le coppie   al variare di   in   e   in  .

Si può decidere di dare un colore diverso ad ogni generatore   ed assegnare quel colore allo spigolo  . Si può anche dare un'orientazione allo spigolo, che parte da   ed arriva in  .

EsempiModifica

Gruppi abelianiModifica

Sia   il gruppo degli interi e   consista del generatore standard 1. Il grafo di Cayley è l'insieme di vertici  , con un segmento per ogni coppia  . Topologicamente il grafo di Cayley è quindi una retta.

Sia   il gruppo ciclico di ordine   e   il generatore standard. Il grafo di Cayley è l'insieme di vertici  , con un segmento per ogni coppia  , inclusa la coppia  . Il grafo di Cayley è quindi un poligono con   lati.

Prodotto direttoModifica

Il grafo di Cayley del prodotto di gruppi è il prodotto cartesiano dei grafi di Cayley di ogni fattore, purché l'insieme dei generatori per il prodotto sia scelto in modo naturale sulla base dei generatori dei singoli fattori[2].

Il grafo di Caley di   con generatori   e   è una griglia nel piano  .

Gruppo diedraleModifica

 
Grafo di Cayley del gruppo diedrale   con generatori   e  
 
Grafo di Cayley di   con generatori   e  

Il grafo di Cayley del gruppo diedrale   presentato nel modo seguente

 

con generatori   e   è mostrato nella figura a sinistra. Nella figura di destra è mostrato il grafo di Cayley dello stesso gruppo   rispetto ad un altro insieme di generatori.

Gruppo liberoModifica

Il grafo di Cayley del gruppo libero con due generatori   e   è mostrato più in alto: si tratta di un albero infinito in cui ogni vertice è adiacente a quattro spigoli.

NoteModifica

  1. ^ Arthur Cayley, Desiderata and suggestions: No. 2. The Theory of groups: graphical representation, in Amer. J. Math., vol. 2, n. 1, 1878, pp. 174–176, JSTOR 2369306.
  2. ^ Nel prodotto di due gruppi $G_1\times G_2$ si prendono come generatori gli elementi $(s_1,0)$ e $(0,s_2)$ al variare di $s_1$ e $s_2$ fra i generatori di $G_1$ e $G_2$.

Voci correlateModifica

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