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Il gruppo diedrale di ordine è il gruppo formato dalle isometrie del piano che lasciano immutati i poligoni regolari a lati.

L'aggettivo diedrale deriva da diedro (dal greco: solido a due facce), che a sua volta origina dalla possibilità di considerare un poligono come un solido degenere ad altezza nulla.

Il gruppo diedrale viene usualmente indicato con ; si usano anche le notazioni e .

Indice

Gli elementi del gruppo diedraleModifica

Gli elementi base del gruppo sono le rotazioni del poligono pari all'n-esima parte dell'angolo giro, e la riflessione attorno ad un asse di simmetria del poligono. Esistono in tutto   rotazioni possibili e   assi di simmetria per un poligono di   lati, per cui il gruppo diedrale corrispondente è formato da   elementi.

 
Una rotazione del pentagono di  
 
Una riflessione del pentagono attorno al proprio asse di simmetria

Indicato con   la rotazione di   radianti in senso antiorario, e   la riflessione attorno ad uno degli assi di simmetria, valgono le seguenti relazioni:

  •  : dopo   rotazioni si ritorna sui vertici di partenza;
  •  : due riflessioni consecutive si annullano;
  •  : in particolare, il gruppo non è commutativo;
  • ogni simmetria si può ottenere come composizione di   e di un adeguato numero di rotazioni  ;
  • la composizione di due rotazioni o due riflessioni è una rotazione; la composizione di una rotazione e una riflessione è una riflessione.

Segue che è possibile generare tutto il gruppo da   ed  ; in alternativa, poiché due riflessioni consecutive sono uguali ad una rotazione, si può generare il gruppo a partire da due riflessioni   e   (pertanto il gruppo diedrale è di Coxeter).

 
Un rotazione si può ottenere come la composizione di due riflessioni

Definizioni equivalentiModifica

È possibile dare per il gruppo diedrale numerose definizioni equivalenti alla precedente:

 
oppure
 ;
  • è il prodotto semidiretto dei gruppi ciclici   e  , con   che agisce su   per inversione;

ProprietàModifica

  • per  ,   è un sottogruppo del gruppo simmetrico  ;
  • dato un numero   che divide  ,   ha   sottogruppi di tipo   e un sottogruppo di tipo  ;

Proprietà che dipendono dalla parità dei latiModifica

Gli assi di simmetria di un poligono sono disposti in maniera diversa, a seconda che il numero dei suoi lati sia pari (metà degli assi passano per i vertici opposti e metà passano per il centro dei lati opposti) oppure dispari (ogni asse passa per un vertice e il centro del lato opposto). Questo comporta che alcune delle proprietà del gruppo diedrale associato possono variare a seconda della parità di  :

  • il centro del gruppo, ovvero l'insieme degli elementi che commutano con tutto il gruppo, è formato dalla sola identità se   è dispari, mentre contiene anche l'elemento   (equivalente alla rotazione di 180°) se   è pari.
  • se   è dispari, tutte le riflessioni appartengono alla stessa classe di coniugio; se invece   è pari esistono due classi di coniugio separate: le riflessioni attorno agli assi passanti per i vertici e quelle attorno agli assi passanti per i lati non sono collegabili fra di loro mediante rotazioni.

Gruppi diedrali piccoliModifica

Il caso   è considerato degenere e non è menzionato da molti autori; si può considerare come il gruppo composto dalla sola rotazione di   e dalla simmetria lungo una qualunque retta; corrisponde al gruppo  .

Il caso   (simmetrie del piano che lasciano invariato un 2-agono, cioè un segmento) è generato dalla rotazione di   e dalla riflessione attorno all'asse del segmento. Queste due trasformazioni, pur essendo identiche sui punti del segmento, non lo sono per l'intero piano. Il gruppo è isomorfo a   (gruppo di Klein).

  e   sono gli unici gruppi diedrali commutativi.

Gruppi diedrali e radici dell'unitàModifica

L'insieme delle radici n-esime dell'unità, dato da

 

sul piano complesso corrisponde ai vertici di un poligono a   lati. La moltiplicazione per   corrisponde alla rotazione di  , mentre l'operazione di coniugazione complessa   corrisponde alla riflessione lungo l'asse reale. Segue che il gruppo generato a partire da queste due operazioni, con l'operazione di composizione, è il gruppo diedrale di ordine  .

GeneralizzazioniModifica

Gruppo diedrale infinitoModifica

Il gruppo diedrale ha tra i suoi generatori una rotazione   che è un multiplo razionale dell'angolo giro, per cui esiste sempre un intero   per cui   è l'identità, e il gruppo generato è di ordine finito; se invece consideriamo rotazioni che non sono multiple razionali di  , non esiste alcuna loro potenza che sia l'identità; segue che il gruppo generato (indicato con  ) ha infiniti elementi.

La sua presentazione è data da   oppure  .

Gruppo diedrale generalizzatoModifica

Dato un gruppo commutativo  , il gruppo diedrale generalizzato di  , che si indica con  , è il prodotto semidiretto di   e di  , con   che agisce su   per inversione.

Valgono cioè le regole di moltiplicazione:

 

Poiché   e  , questa definizione estende quella di gruppo diedrale di un poligono. Gli elementi del tipo   corrispondono alle rotazioni e formano un sottogruppo normale di   isomorfo ad  , mentre gli elementi del tipo   corrispondono alle riflessioni.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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