Gruppo di Grothendieck

In matematica, in particolare in algebra astratta, il gruppo di Grothendieck di un semigruppo commutativo è un gruppo, costruito in modo tale che sia "il più piccolo" gruppo che contiene . Prende nome dalla costruzione più generale introdotta da Alexander Grothendieck nella teoria delle categorie con i suoi lavori fondamentali nella metà del 1950 che portarono allo sviluppo della K-teoria.

DefinizioneModifica

Costruzione esplicitaModifica

Sia   un semigruppo commutativo. Nel prodotto cartesiano   definiamo la relazione di equivalenza

 ;

definiamo inoltre l'operazione di somma per componenti

 

che è compatibile con  .

Il gruppo di Grothendieck di   è l'insieme quoziente  ; il suo elemento neutro è la classe costituita dalle coppie  , mentre l'inverso della classe   è la classe  .

Proprietà universaleModifica

Un modo alternativo per definire il gruppo di Grothendieck è mediante l'uso di una proprietà universale: dato un semigruppo  , il Grothendieck è un gruppo   (insieme con un monomorfismo di semigruppi   tale che, per ogni omomorfismo   (dove   è un gruppo abeliano), esiste ed è unico un omomorfismo di gruppi   tale che  .

La proprietà universale esprime il fatto che, se un gruppo contiene un'immagine omomorfa di  , allora conterrà anche un'immagine omomorfa di  .

Questa costruzione è equivalente a quella esplicita: se   è un altro gruppo che soddisfa questa condizione, allora esiste un isomorfismo naturale tra   e  .

In termini di teoria delle categorie, questa costruzione è il funtore aggiunto a sinistra del funtore tacito che associa ad ogni gruppo abeliano la sua struttura di semigruppo.

EsempiModifica

  • Se   è un sottosemigruppo del semigruppo commutativo   allora   è un sottogruppo del gruppo commutativo  .
  • Se   è un gruppo commutativo allora   coincide con  ; più precisamente, le mappe   e   sono isomorfismi tra   e  
  • Se   è il semigruppo commutativo dei numeri naturali allora   è isomorfo al gruppo dei numeri interi  .
  • Se   è il semigruppo commutativo degli interi diversi da zero allora  .

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica