Apri il menu principale

Un gruppo abeliano, o gruppo commutativo, è un gruppo la cui operazione binaria gode della proprietà commutativa: il gruppo è abeliano se

Il nome deriva dal matematico norvegese Niels Henrik Abel.

I gruppi abeliani sono una generalizzazione dell'operazione aritmetica di somma sui numeri interi.

Un gruppo la cui operazione non è commutativa, viene chiamato gruppo non-abeliano o gruppo non-commutativo.

EsempiModifica

Tutti i gruppi ciclici sono abeliani, infatti, se a è l'elemento ciclico di G e

 

allora

 

In particolare, i numeri interi con l'usuale addizione sono un gruppo abeliano.

Ogni campo F dà origine in modo naturale a due gruppi abeliani: il gruppo additivo (F; +) se si considera solo la somma, il gruppo moltiplicativo (F \ {0}; ×) dato dagli elementi di F diversi da zero e considerando la sola operazione di prodotto. I numeri reali danno luogo a due gruppi abeliani nel modo suddetto.

ProprietàModifica

Ogni gruppo abeliano G può essere dotato di una struttura di modulo sull'anello Z dei numeri interi nel seguente modo: per  , l'elemento nx è definito come il multiplo  -simo di x rispetto all'operazione di gruppo, vale a dire: nx := x+x+...+x con n addendi, (-n)x := -(nx). Di fatto, i moduli su Z possono essere identificati con i gruppi abeliani.

Ogni sottogruppo di un gruppo abeliano è normale, si può perciò costruire il gruppo quoziente a partire da ogni sottogruppo. Sottogruppi, gruppi quoziente, prodotti e somme dirette di gruppi abeliani sono ancora gruppi abeliani.

Gli omomorfismi Hom(G,H) tra due gruppi abeliani G e H costituiscono a loro volta un gruppo abeliano definendo la somma come  , dove  .
Questa particolare definizione si può applicare solo ai gruppi abeliani, infatti, se H e G non fossero abeliani, avremmo:

 

che differisce da

 

per l'ordine dei fattori, dimostrando che f g non è un omomorfismo.

I gruppi abeliani, insieme con gli omomorfismi di gruppo, costituiscono una categoria che è una sottocategoria della categoria dei gruppi.

In un gruppo abeliano G si può invertire il teorema di Lagrange, cioè se m divide n = |G| allora esiste (almeno) un sottogruppo di ordine m.

Numero di gruppi commutativiModifica

Sebbene non esista una formula che esprima, per ogni n, il numero di gruppi di ordine n, essa tuttavia esiste nel caso di un gruppo abeliano: infatti, se

 

dove gli   sono primi distinti, allora il numero di gruppi (non isomorfi tra loro) di ordine n è pari a

 

dove P(x) è la funzione di partizione; ovvero la numerosità dei gruppi non dipende dai fattori primi di n ma soltanto dai loro esponenti.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàNDL (ENJA00560040
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica