Gruppo triangolare

In algebra un gruppo triangolare è un gruppo generato dalle riflessioni lungo i lati di un triangolo con angoli

${\frac {\pi }{l}},{\frac {\pi }{m}},{\frac {\pi }{n}}.$

Il triangolo è contenuto nel piano euclideo, nel piano iperbolico o nella sfera a seconda che la somma degli angoli interni sia uguale, minore o maggiore di $\pi$. Il gruppo triangolare è anche il gruppo di simmetrie della tassellazione del piano corrispondente.

Un gruppo triangolare è un particolare gruppo di Coxeter.

Definizione

Siano $l,m,n$ tre numeri interi maggiori o uguali a 2. Sia $T$ un triangolo avente angoli interni

${\frac {\pi }{l}},{\frac {\pi }{m}},{\frac {\pi }{n}}.$

La somma degli angoli interni è

$\pi \cdot \left({\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}\right).$

In geometria euclidea un tale triangolo esiste soltanto se la somma degli angoli interni è $\pi$, e cioè se

${\frac {1}{l}}+{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}=1.$

Se la somma degli angoli interni è maggiore o minore di $\pi$, un tale triangolo esiste nelle altre due geometrie non euclidee più importanti, e cioè la geometria sferica e la geometria iperbolica. Le figure seguenti mostrano un triangolo sferico (in cui la somma degli angoli interni $\alpha +\beta +\gamma$ è maggiore di $\pi$) e un triangolo iperbolico (in cui è minore di $\pi$):

Triangolo sferico

Triangolo iperbolico

Il gruppo triangolare

$\Delta (l,m,n)$

è il gruppo di simmetrie del piano (euclideo, sferico o iperbolico) generato dalle tre riflessioni lungo i tre lati del triangolo. Indicando con $a,b,c$ queste riflessioni, il gruppo triangolare ha la seguente presentazione:

$\langle a,b,c\ |\ a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1\rangle .$

Le relazioni $a^{2}=b^{2}=c^{2}=1$ sono dovute al fatto che una riflessione ha ordine 2, mentre le relazioni $(ab)^{n}=(bc)^{l}=(ca)^{m}=1$ sono conseguenza del fatto che la composizione $ab$ è una rotazione di angolo $2\pi /n$ attorno al vertice avente angolo $\pi /n$ ed ha quindi ordine $n$.

Voci correlate

• Gruppo di Coxeter