Piano (geometria)

Il piano è un concetto primitivo della geometria, ossia un concetto per il quale non esiste una definizione formale e che si suppone intuitivamente comprensibile e/o esperienzialmente acquisito, pertanto un'idea universalmente accettata e unica rappresentabile con oggetti concreti che fungono da esempio ma che per la loro sussistenza stessa non risolvono pienamente il concetto (gli altri concetti primitivi della geometria sono il punto e la retta).

Rappresentazione di due piani che si intersecano

Nel caso del piano per rappresentarlo idealmente si pensi a un foglio di carta di dimensioni infinite: il piano è l'idea, il concetto astratto, ma non è il foglio di carta sia perché questo ha uno spessore e un piano ideale non ne ha e sia perché non è possibile produrre o ritrovare un foglio di carta di dimensioni infinite.

In definitiva, esso:

• Inteso come luogo geometrico di punti, ha un'estensione superficiale: il piano, nello spazio tridimensionale, è l'insieme di tutti quei punti individuati dalla combinazione lineare di 2 vettori linearmente indipendenti applicati nel medesimo punto $P$.
• Dal punto di vista della geometria differenziale il piano è quella superficie che ha entrambe le curvature fondamentali nulle.

Le relazioni che intercorrono tra un piano e i punti e le rette che esso contiene sono espresse dagli assiomi di Euclide e dagli assiomi di Hilbert.

Piani nello spazio tridimensionale

L'equazione canonica del piano nello spazio tridimensionale $\mathbb {R} ^{3}$ è del tipo:

$ax+by+cz+d=0,$

con $a,b,c,d\in \mathbb {R} ,$ e $a,b,c$ non tutti nulli.

Equazione cartesiana

Piano passante per tre punti

Siano $P_{1}=(x_{1},y_{1},z_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2},z_{2}),P_{3}=(x_{3},y_{3},z_{3})$ tre punti dello spazio non allineati. Per questi tre punti passa uno e un solo piano $\pi$. Un punto $P=(x,y,z)$ appartiene al piano $\pi$ solo se il vettore $P-P_{1}$ è combinazione lineare dei vettori $P_{2}-P_{1}$ e $P_{3}-P_{1}$, ossia se

${\begin{vmatrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}}=0.$

Sviluppando il determinante con la regola di Laplace rispetto alla prima riga si ottiene:

$a(x-x_{1})+b(y-y_{1})+c(z-z_{1})=0,$

dove

$a={\begin{vmatrix}y_{2}-y_{1}&z_{2}-z_{1}\\y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;b=-{\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&z_{2}-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&z_{3}-z_{1}\end{vmatrix}},\;c={\begin{vmatrix}x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}\end{vmatrix}}.$

Infine, per ottenere l'equazione canonica del piano, si definisce $\;d\;$ come segue:

$d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}),$

dove $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ è un punto che appartiene al piano, pertanto in questo caso si possono utilizzare le coordinate di un punto qualsiasi fra $P_{1}$, $P_{2}$ e $P_{3}$.

Posizioni reciproche di due piani

Piani paralleli

Si può studiare la posizione reciproca di due piani mettendo a sistema le loro equazioni. Quando la matrice dei coefficienti ha rango 2, il sistema è compatibile e risulta ammettere una semplice infinità ($\infty ^{1}$) soluzioni, che rappresentano tutti i punti della retta di intersezione tra i due piani. Quando sia la matrice dei coefficienti che la matrice completa hanno rango 1, le soluzioni ammesse sono una doppia infinità ($\infty ^{2}$) e i piani risultano essere paralleli e coincidenti (parallelismo improprio). Se infine la matrice dei coefficienti ha rango 1 e la matrice completa ha rango 2, il sistema risulta essere incompatibile e i piani sono paralleli e distinti (parallelismo proprio).

Distanza di un punto da un piano

È possibile calcolare la distanza di un punto $P=(x_{0},y_{0},z_{0})$ da un piano $\pi$ utilizzando la seguente formula:

$d(\pi ,P)={\frac {|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.$

In particolare, se $d(\pi ,P)=0$, allora il punto $P$ appartiene al piano $\pi$.

Voci correlate

• Problemi di misura (geometria descrittiva)
• Superficie (matematica)
• Spazio affine
• Fascio di piani
• Piano proiettivo

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Piano, su MathWorld, Wolfram Research.

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