Identità sui logaritmi

In vari settori della matematica, in particolare nello studio delle funzioni speciali, si incontrano svariate identità sui logaritmi.

Identità algebriche

Le identità più semplici

$\log _{b}(1)=0\!\,$	deriva da	$b^{0}=1\!\,$
$\log _{b}(b)=1\!\,$	deriva da	$b^{1}=b\!\,$
$\log _{1/b}(b)=-1\!\,$	deriva da	$b^{-1}=1/b\!\,$

Semplificazione di calcoli numerici

I logaritmi sono stati introdotti per semplificare i calcoli numerici. Per esempio si può ottenere il prodotto di due numeri servendosi delle tavole dei logaritmi ed effettuando una somma.

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)\!\,$	deriva da	$b^{x}\cdot b^{y}=b^{x+y}$
$\log _{b}\!\left({\begin{matrix}{\dfrac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	deriva da	${\begin{matrix}{\dfrac {b^{x}}{b^{y}}}\end{matrix}}=b^{x-y}$
$\log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)\!\,$	deriva da	$(b^{n})^{y}=b^{ny}\!\,$
$\log _{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\dfrac {\log _{b}(x)}{y}}\end{matrix}}$	deriva da	${\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}$

Cancellazione con gli esponenziali (identità logaritmica)

La funzione esponenziale viene anche chiamata antilogaritmo; in effetti le applicazioni della funzione logaritmo e della funzione esponenziale relative alla stessa base si annullano reciprocamente.

$b^{\log _{b}(x)}=x$	deriva da	$\mathrm {antilog} _{b}(\log _{b}(x))=x\!\,$
$\log _{b}(b^{x})=x\!\,$	deriva da	$\log _{b}(\mathrm {antilog} _{b}(x))=x\!\,$

Cambiamento della base

$\log _{a}b={\log _{c}b \over \log _{c}a}$

Questa identità permette di calcolare i logaritmi in base qualunque su molte calcolatrici. Gran parte delle calcolatrici hanno infatti tasti per il calcolo di ln e di log₁₀, ma nessuno che permetta il calcolo diretto di log₂. Per ottenere il valore di un numero come log₂(3), si può calcolare log₁₀(3) / log₁₀(2) (o equivalentemente il calcolo di ln(3)/ln(2)).

Alla precedente formula se ne riconducono varie altre:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

$\log _{a^{n}}b={\frac {1}{n}}\log _{a}b$

$a^{\log _{b}c}=c^{\log _{b}a}$

Identità utili al calcolo infinitesimale

Limiti

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}a>1$

$\lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1$

$\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=+\infty \quad {\mbox{se }}a>1$

$\lim _{x\to +\infty }\log _{a}x=-\infty \quad {\mbox{se }}0<a<1$

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0$

$\lim _{x\to +\infty }{1 \over x^{b}}\log _{a}x=0$

L'ultima identità viene spesso interpretata con l'affermazione che "i logaritmi crescono più lentamente di una qualunque potenza (o radice) positiva della variabile $x$".

Derivata delle funzioni logaritmiche

${d \over dx}\log _{a}x={1 \over x\ln a}={\log _{a}e \over x}$

Integrali di funzioni logaritmiche

$\int \log _{a}x\,dx=x(\log _{a}x-\log _{a}e)+C$

Per rendere più mnemoniche le formule che seguono conviene introdurre la notazione:

$x^{\left[n\right]}:=x^{n}(\log(x)-H_{n})$

dove $\,H_{n}:=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$ è l'n-esimo numero armonico. Quindi si hanno le successive identità:

$x^{\left[0\right]}=\log x$

$x^{\left[1\right]}=x\log(x)-x$

$x^{\left[2\right]}=x^{2}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\,x^{2}$

$x^{\left[3\right]}=x^{3}\log(x)-{\begin{matrix}{\frac {3}{4}}\end{matrix}}\,x^{3}$

Di conseguenza

${\frac {d}{dx}}\,x^{\left[n\right]}=n\,x^{\left[n-1\right]}$

$\int x^{\left[n\right]}\,dx={\frac {x^{\left[n+1\right]}}{n+1}}+C$