Un grafico della crescita dell'n-esimo numero armonico con (linea rossa) insieme al suo limite asintotico (linea blu).

In matematica, per ogni intero naturale n si definisce come n-esimo numero armonico la somma:

Si tratta evidentemente di numeri razionali e si dimostra che le corrispondenti frazioni ridotte ai minimi termini hanno numeratore dispari e denominatore pari.

In concreto i primi termini della successione dei numeri armonici sono:

1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520, 83711/27720, ...

I numeratori dei numeri armonici sono detti numeri di Wostenholme e costituiscono la successione A001008 dell'OEIS. I denominatori costituiscono la successione A002805 dell'OEIS.

I numeri armonici costituiscono le somme parziali della serie armonica, notoriamente divergente.

Numeri armonici alternatiModifica

I numeri armonici sono strettamente collegati a quelli che si possono chiamare numeri armonici alternati

  .

Questi sono le somme troncate della serie armonica alternata notoriamente convergente e sono esprimibili mediante i numeri armonici dalle formule

 

Espressione analiticaModifica

I numeri armonici (e quindi anche i numeri armonici alternati) si possono esprimere analiticamente come

 

mediante la costante di Eulero - Mascheroni e la funzione digamma (e di conseguenza mediante la funzione gamma)

 

Numeri armonici generalizzatiModifica

Il concetto di numero armonico può essere generalizzato con la seguente definizione.

Fissati due interi naturali m ed n, si definisce come n-esimo numero armonico generalizzato di esponente m la somma:

 

Si può notare che i numeri armonici sono il caso particolare di numeri armonici generalizzati di esponente 1.

Per m negativi, si ottiene la somma di potenze di interi successivi

 

che è strettamente legata ai polinomi di Bernoulli.

CollegamentiModifica

I numeri armonici e i numeri armonici generalizzati che li comprendono si incontrano in numerose aree della matematica riferibili alla combinatoria e allo studio delle funzioni speciali. Essi intervengono nello studio di funzioni speciali particolari, ad es. della funzione poligamma della funzione polilogaritmo e della funzione zeta di Riemann; essi inoltre si incontrano in recenti sviluppi di elevata generalità, come le questioni collegate all'approssimazione di Hermite-Padé.

BibliografiaModifica

  • R. L. Graham, D. E. Knuth and O. Patashnik (1990): Concrete Mathematics, Addison-Wesley, p. 259.
  • D. E. Knuth: The Art of Computer Programming. Addison-Wesley, Vol. 1, p. 615.

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