Incidenza (geometria)

In matematica due insiemi sono incidenti quando hanno almeno un elemento in comune, ossia quando la loro intersezione non è vuota.

In geometria descrittiva l'incidenza indica anche l'intersezione di due insiemi nel piano o nello spazio euclideo, considerando anche i punti impropri.

Ad esempio, il punto d'incidenza di due rette distinte nel piano è il loro punto d'intersezione; similmente nello spazio si hanno il punto d'incidenza di un piano e di una retta non contenuta in esso, oppure la retta d'incidenza di due piani distinti.

La sezione di una figura piana rispetto a una retta o di una figura solida rispetto ad un piano sono casi particolari di incidenza.

Esempi d'incidenza nel pianoModifica

Punto d'intersezione tra due rette complanariModifica

È un punto  , che è comune a due rette   ed  , appartenenti entrambe allo stesso piano  . In simboli:

 

Il punto   prende il nome di punto proprio. Nel caso in cui   sia il piano cartesiano, chiamiamolo  , possiamo riscrivere il tutto:

 

dove con   si intende il prodotto cartesiano tra   ed  . Con ques'ultima notazione non facciamo altro che dire che   fa parte del piano cartesiano e che viene individuato da una coppia di numeri  , ossia le sue coordinate.

Nel caso in cui  ,   prende il nome di punto improprio.

Esempio:

Date le due rette di equazione   e  , per trovare il punto d'intersezione è sufficiente risolvere il sistema:

 

Risulterà quindi che il punto d'intersezione sarà  .


La complanarità tra due rette assegnate   ed  , disposte nello spazio, può essere verificata solo quando si eseguono almeno due proiezioni, sia centrali sia parallele, di tali rette   e  . Per esempio, nel metodo di Monge (che fa parte della categoria delle proiezioni parallele), la complanarità può essere verificata quando le proiezioni ortogonali del punto d'intersezione tra le dette rette   ed   appartengono a una stessa retta di richiamo.

Esempi d'incidenza nello spazioModifica

Retta d'intersezione tra due pianiModifica

La retta d'intersezione tra due piani   e   può essere individuata determinando due punti   e   comuni a tali piani. Nel caso in cui tali piani   e   sono tra loro paralleli si ha che tali punti   e   sono entrambi impropri.

ApplicazioneModifica

La determinazione di una retta   comune a due assegnati piani   e  , consiste nel eseguire, in ordine, le seguenti operazioni:

  • Determinare un primo punto   comune ad   e  :
    • Si assume un piano ausiliario  . Tra gli infiniti piani ausiliari che si possono assumere, spesso per la facilita d'uso, si sceglie quello che ha giacitura verticale.
    • Si determinano   e  , rispettivamente: come rette d'intersezione tra il piano ausiliario   con   e  .
    • Infine si individua il punto cercato  , come intersezione tra le rette determinate   e  .
  • Si ripetono le operazioni precedenti per determinare un secondo punto  , anch'esso comune ai piani assegnati   e  . A tale fine e per facilitare tali operazioni, è preferibile assumere un secondo piano ausiliario delta che sia parallelo a  . In questo modo delta seziona i piani   e   secondo due rette paralleli a   e  .

Punto d'intersezione di una retta con un pianoModifica

Dati una retta e un piano   non passante per   (vedi figura). Il punto d'intersezione   tra gli elementi dati, il quale può essere improprio quando   risulta parallela ad  , altrimenti proprio, quando   è inclinata rispetto ad  . Per determinare tale punto  , si procede come di seguito:

  • si fa passare per   un piano ausiliario  ;
  • si determina una retta   come intersezione tra i piani   e  ;
  • si individua, in ultimo, il punto cercato   come intersezione tra la rette   e  .

Si tiene presente che nel caso in cui risulta che tali rette   e   sono tra loro paralleli, significa che   è parallela al piano  .

Incidenza di una retta r con una superficie proiettivaModifica

Incidenza di r con un cilindroModifica

Date le proiezioni ortogonali di un cilindro   e di una retta  , in cui è stabilito che   ha base circolare appartenente al primo piano di proiezione   e asse inclinato rispetto a tale piano, si vuole determinare eventuali punti d'incidenza di   con  .

Il concetto d'intersezione di una retta   con cilindro   si basa sul fatto che i piani che passano per il vertice di   ( cioè parallele al suo asse) lo sezionano seconda due generatrici (in questo caso sono due rette), e poiché un punto improprio (vertice del cilindro) e la retta data   individuano un solo piano  , per cui, è sufficiente individuare tale piano   per risolvere il problema in questione. Per inciso:

  • La prima traccia di   si individua unendo la prima traccia di   con la prima traccia di un'altra retta   complanare a   e parallele all'asse del cilindro  .
  • Dove la prima traccia di   interseca la base inferiore di  , passano le due generatrici,   e  , d'intersezione tra   e  .
  • In ultimo, i punti d'incidenza di   con  , si individuano come intersezione delle dette generatrici   e   con  .

Nota importante: con procedimento analogo, come sopra, è possibile determinare l'intersezione di un retta con qualsiasi tipo di superficie proiettiva, come le superfici coniche, le piramidi, i prismi.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica