Integrale della funzione inversa

In matematica, l'integrale di una funzione inversa può essere espresso nei termini della stessa inversa e di una primitiva della funzione non inversa, se questa la possiede. La formula è stata pubblicata nel 1905 da Charles-Ange Laisant.

Illustrazione del teorema

Enunciato

Sia $f\colon I\to J$ una funzione invertibile e strettamente monotona che ammette una primitiva $F$, con $I$ e $J$ intervalli di $\mathbb {R}$, e sia $f^{-1}\colon J\to I$ la sua inversa. Per qualche $c\in J$ fissato e per ogni $x\in J$ si ha

$\int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=\left[tf^{-1}(t)-(F\circ f^{-1})(t)\right]_{c}^{x},$

da cui il corollario immediato $\int f^{-1}(x)dx=xf^{-1}(x)-(F\circ f^{-1})(x)+C$ con $C$ costante reale arbitraria.

Dimostrazione

Se $f^{-1}$ è anche derivabile con continuità in $[c,x]$, ricordando che $\int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=\int _{c}^{x}1f^{-1}(t)dt$, per l'integrazione per parti

$\int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-\int _{c}^{x}tD[f^{-1}(t)]dt,$

dove $D[f^{-1}(t)]$ è la derivata della funzione inversa. Se riscriviamo la funzione identità $t$ come $(f\circ f^{-1})(t)$ nell'integrale di partenza, poiché $(f\circ f^{-1})(t)D[f^{-1}(t)]=D[(F\circ f^{-1})(t)]$ con $F$ una primitiva di $f$, per il teorema fondamentale del calcolo integrale otteniamo

$\int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=[tf^{-1}(t)-(F\circ f^{-1})(t)]_{c}^{x}.$

QED.

Tuttavia non è necessario che $f^{-1}(t)\in C^{1}([c,x])$ affinché il teorema valga.

Infatti, poiché $f^{-1}$ è una mappa biunivoca $[c,x]\mapsto [f^{-1}(c),f^{-1}(x)]$, possiamo usare l'integrazione per parti con cambio di variabili dell'integrale di Stieltjes,

$\int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-\int _{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(x)}t\,df^{-1}(t)=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-\int _{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(x)}f(f^{-1}(t))\,df^{-1}(t).$

L'ultimo integrale è immediato e otteniamo $\int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=tf^{-1}(t)|_{c}^{x}-F(t)|_{f^{-1}(c)}^{f^{-1}(x)}$ che può però essere riscritto come

$\int _{c}^{x}f^{-1}(t)dt=(tf^{-1}(t)-F\circ f^{-1}(t))|_{c}^{x}.$

QED.

Storia

Da quanto è noto, questo teorema è stato pubblicato per la prima volta nel 1905 da Charles-Ange Laisant, e indipendentemente nel 1912 dall'ingegnere italiano Alberto Caprilli nell'opuscolo "Nuove formole d'integrazione", assumendo che $f$ o $f^{-1}$ sia differenziabile. Una versione più generale, libera da questa assunzione, fu proposta da Michael Spivak nel 1965 come esercizio nel suo libro Calculus, e una dimostrazione sotto le ipotesi ridotte è stata pubblicata in letteratura da Eric Key nel 1994.

Il teorema sotto ipotesi ridotte assume solo che $f$ (o $f^{-1}$) sia, oltre che integrabile ovviamente, strettamente monotona. La tesi viene dimostrata direttamente usando la definizione di integrale di Darboux. Infatti, se i punti $P=\left\{t_{0},\ldots ,t_{n}\right\}$ inducono una partizione nell'intervallo di integrazione (di $f^{-1}$) $[a,b]$, allora $P^{\prime }=\{f^{-1}(t_{0}),\dots ,f^{-1}(t_{n})\}$ induce una partizione nell'intervallo di integrazione di $f$ (poiché $f^{-1}$ è strettamente monotona); si può quindi facilmente dimostrare che

$L\left(f^{-1},P\right)+U\left(f,P^{\prime }\right)=bf^{-1}(b)-af^{-1}(a),$

dove $L$ e $U$ sono rispettivamente le somme inferiori e superiori di Darboux. Dal risultato precedente segue la tesi poiché le funzioni sono integrabili.

È bene inoltre notare che, in generale, la (stretta) monotonia sia condizione necessaria, oltre che sufficiente, affinché valga la tesi. Ciò è facilmente dimostrabile considerando apposite funzioni invertibili e integrabili appositamente definite a tratti in forma, per esempio, simile a

$f(x)={\begin{cases}x,&{\text{se }}x\in \left[0,{\frac {1}{2}}\right),\\1-{\frac {x}{2}},&{\text{se }}x\in \left[{\frac {1}{2}},1\right].\end{cases}}$

Bibliografia

• J.H. Staib, The Integration of Inverse Functions, in Mathematics Magazine, vol. 39, n. 4, settembre 1966, pp. 223–224, DOI:10.2307/2688087.
• E. Key, Disks, Shells, and Integrals of Inverse Functions, in The College Mathematics Journal, vol. 25, n. 2, marzo 1994, pp. 136–138, DOI:10.2307/2687137.
• Michael Bensimhoun, On the antiderivative of inverse functions (PDF), 2013.