Integrale di linea di prima specie

integrale matematico

1leftarrow blue.svgVoce principale: Integrale di linea.

Integrale di linea di una funzione di due variabili.

In analisi matematica e calcolo integrale, un integrale di linea di prima specie è un integrale di una funzione reale o complessa di una o più variabili reali, cioè di un campo scalare, lungo una curva.

Per le funzioni reali di una variabile (reale o complessa), la definizione e il calcolo coincidono con quella di integrale definito e integrale complesso. Nel seguito si espone il caso di integrazione curvilinea di funzioni reali di due o tre variabili, con immediate estensioni ad un numero qualsiasi di variabili.

L'analogo integrale di funzioni vettoriali è l'integrale di linea di seconda specie.

La curva regolareModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Curva nello spazio.

Una curva, in forma parametrica, è una funzione vettoriale di una sola variabile   del tipo:

 

Si può scrivere anche:

 

La variabile   si chiama parametro. Una curva è una funzione di classe   in un intervallo se le funzioni  ,   e   hanno derivate continue in tale intervallo. Una curva   si dice regolare in un punto   se:

 

e regolare in   se ciò vale in ogni punto di  . Un punto in cui si abbia   si dice punto singolare per la curva.

Una curva nello spazio si dice semplice se non si interseca con se stessa, ovvero se per ogni   si ha  . La regolarità della curva permette di definire la retta tangente alla curva, che è la retta parallela al vettore:

 

Tale vettore è detto vettore tangente di lunghezza  , ed è indicato pure con  . Il versore tangente è inoltre il vettore di lunghezza unitaria:

 

Data la rappresentazione parametrica della curva regolare, è possibile anche calcolarne la lunghezza:

 

Il calcolo dell'integraleModifica

Se si ha una funzione   di tre variabili e una curva   definita in   con rappresentazione parametrica  :

 

con  , si definisce nel modo seguente l'integrale della funzione lungo la curva. Si consideri una partizione qualsiasi  , a cui si associano i punti  . Tali punti dividono la curva in tanti archi  . In corrispondenza di ognuno di tali archi si sceglie un generico punto appartenente all'arco i-esimo   e si costruiscono le somme integrali:

 

dove la   è la lunghezza definita precedentemente. Se esiste il limite per   delle somme integrali, cioè per ogni intervallo   che diventa infinitesimo (ovvero, equivalentemente, per  ), allora il valore di tale limite si chiama integrale curvilineo di prima specie della funzione   lungo la curva   e lo si indica solitamente con:

 

Se la curva è regolare allora   è l'elemento infinitesimo di lunghezza come nella definizione di lunghezza della curva, e si può esplicitare l'integrale:

 

dove   significa esprimere la funzione in termini della parametrizzazione data in precedenza.

Nel caso in cui la curva è piana la funzione non dipende dalla variabile   e allora la precedente relazione si trasforma:

 

L'integrale di linea così descritto è indipendente dalla rappresentazione parametrica (e non dipende dalla scelta dei punti   né dalla partizione scelta per il calcolo del limite delle somme integrali). A differenza degli integrali di seconda specie (che riguardano i campi vettoriali) questo tipo di integrale non dipende nemmeno dall'orientazione della curva. Banalmente, se la funzione   il calcolo di questo integrale curvilineo si riconduce al calcolo della lunghezza della curva.

Proprietà dell'integrale di prima specieModifica

Valgono le proprietà tipiche degli integrali: linearità, additività e monotonia.

Si ha inoltre:

 

Applicazioni geometriche e fisicheModifica

Una proprietà usata in fisica e in geometria è il calcolo del baricentro di una curva (che può essere materiale): esso è definito dal calcolo dalle coordinate:

 
 
 

BibliografiaModifica

  • (EN) Krantz, S. G. The Complex Line Integral. §2.1.6 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 22, 1999.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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