Lagrangiana di Darwin

La Lagrangiana di Darwin descrive l'interazione all'ordine tra due particelle cariche nel vuoto. Deve il suo nome a Charles Galton Darwin, nipote del naturalista Charles Darwin. La Lagrangiana è data da[1]

dove la Lagrangiana di particella libera è

mentre la Lagrangiana d'interazione è

in cui l'interazione coulombiana è

e l'interazione di Darwin è

Nelle formule e le cariche rispettivamente delle particelle 1 e 2, e sono le masse, e le velocità, è la velocità della luce, è il vettore tra le due particelle con il relativo versore.

La Lagrangiana libera è l'espansione di Taylor della Lagrangiana libera di due particelle relativistiche al secondo ordine in . Il termine d'interazione di Darwin è dovuto all'effetto su una particella del campo magnetico generato dall'altra. Se si includono ordini maggiori di , allora devono essere considerati anche i gradi di libertà del campo, e l'interazione fra le particelle non può essere più considerata istantanea.

Derivazione della Lagrangiana nel vuotoModifica

La Lagrangiana relativistica d'interazione per una particella con carica   interagente con un campo magnetico è[2]

 

dove   è la velocità relativistica della particella. Il primo termine a destra genera la classica interazione di Coulomb, mentre il secondo dà origine all'interazione di Darwin.

Il potenziale vettore nella gauge di Coulomb è descritto da[3] (unità gaussiane)

 

dove la corrente trasversa   è la corrente solenoidale (vedere decomposizione di Helmholtz) generata dalla seconda particella. La divergenza della corrente trasversa è zero.

La corrente generata dalla seconda particella è

 

che ha trasformata di Fourier

 

La componente trasversa della corrente è

 

Si verifica facilmente che

 

che deve essere vera se la divergenza della corrente trasversale è zero. Si vede che

 

è la componente perpendicolare a   della trasformata di fourier della corrente.

Dall'equazione del potenziale vettore, la sua trasformata di Fourier è

 

dove si è tenuto l'ordine minore in  .

La trasformata inversa del potenziale vettore è

 

dove

 

Il termine d'interazione di Darwin nella Lagrangiana è quindi

 

dove ancora si è tenuto solo l'ordine minore in  .

Equazioni del moto lagrangianeModifica

L'equazioni del moto per una particella è

 
 

dove   è il quantità di moto della particella.

Particella liberaModifica

Se si trascurano l'interazioni fra le due particelle, l'equazione del moto diventa

 
 

Particelle interagentiModifica

Per particelle interagenti, l'equazione del moto diventa

 

 

 
 
 

Hamiltoniana per due particelle nel vuotoModifica

L'Hamiltoniana di Darwin per due particelle nel vuoto è collegata alla Lagrangiana tramite una trasformata di Legendre

 

L'Hamiltoniana diventa

 

Equazioni del moto hamiltonianeModifica

Le equazioni del moto hamiltoniane sono

 

e

 

che portano a

 

e

 

Da notare che l'equazione di Breit della meccanica quantistica originariamente utilizzò l'Hamiltoniana di Darwin come punto di partenza classico, sebbene l'equazione di Breit fu meglio giustificata dalla teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman e in modo migliore dall'elettrodinamica quantistica.

NoteModifica

  1. ^ Jackson, John D., Classical Electrodynamics (3rd ed.), Wiley, 1998, pp. 596-598, ISBN 047130932X.
  2. ^ Jackson, pp. 580-581.
  3. ^ Jackson, p. 242.

Voci correlateModifica

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