La Lagrangiana di Darwin descrive l'interazione all'ordine
v
2
c
2
{\displaystyle {\frac {v^{2}}{c^{2}}}}
Charles Galton Darwin , nipote del naturalista Charles Darwin . La Lagrangiana è data da[1]
L
=
L
f
+
L
int
,
{\displaystyle L=L_{\text{f}}+L_{\text{int}},}
dove la Lagrangiana di particella libera è
L
f
=
1
2
m
1
v
1
2
+
1
8
c
2
m
1
v
1
4
+
1
2
m
2
v
2
2
+
1
8
c
2
m
2
v
2
4
,
{\displaystyle L_{\text{f}}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{1}v_{1}^{4}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}+{\frac {1}{8c^{2}}}m_{2}v_{2}^{4},}
mentre la Lagrangiana d'interazione è
L
int
=
L
C
+
L
D
,
{\displaystyle L_{\text{int}}=L_{\text{C}}+L_{\text{D}},}
in cui l'interazione coulombiana è
L
C
=
−
q
1
q
2
r
,
{\displaystyle L_{\text{C}}=-{\frac {q_{1}q_{2}}{r}},}
e l'interazione di Darwin è
L
D
=
q
1
q
2
r
1
2
c
2
v
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
.
{\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}
Nelle formule
q
1
{\displaystyle q_{1}}
q
2
{\displaystyle q_{2}}
m
1
{\displaystyle m_{1}}
m
2
{\displaystyle m_{2}}
v
1
{\displaystyle v_{1}}
v
2
{\displaystyle v_{2}}
c
{\displaystyle c}
velocità della luce ,
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
r
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
versore .
La Lagrangiana libera è l'espansione di Taylor della Lagrangiana libera di due particelle relativistiche al secondo ordine in
v
{\displaystyle v}
campo magnetico generato dall'altra. Se si includono ordini maggiori di
v
/
c
{\displaystyle v/c}
Derivazione della Lagrangiana nel vuoto
modifica
La Lagrangiana relativistica d'interazione per una particella con carica
q
{\displaystyle q}
[2]
L
int
=
−
q
Φ
+
q
c
u
⋅
A
,
{\displaystyle L_{\text{int}}=-q\Phi +{q \over c}\mathbf {u} \cdot \mathbf {A} ,}
dove
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
Il potenziale vettore nella gauge di Coulomb è descritto da[3]
∇
2
A
−
1
c
2
∂
2
A
∂
t
2
=
−
4
π
c
J
t
{\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-{4\pi \over c}\mathbf {J} _{t}}
dove la corrente trasversa
J
t
{\displaystyle \mathbf {J} _{t}}
corrente solenoidale (vedere decomposizione di Helmholtz ) generata dalla seconda particella. La divergenza della corrente trasversa è zero.
La corrente generata dalla seconda particella è
J
=
q
2
v
2
δ
(
r
−
r
2
)
,
{\displaystyle \mathbf {J} =q_{2}\mathbf {v} _{2}\delta \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{2}\right),}
che ha trasformata di Fourier
J
(
k
)
≡
∫
d
3
r
exp
(
−
i
k
⋅
r
)
J
(
r
)
=
q
2
v
2
exp
(
−
i
k
⋅
r
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {J} \left(\mathbf {k} \right)\equiv \int d^{3}r\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)\mathbf {J} \left(\mathbf {r} \right)=q_{2}\mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}
La componente trasversa della corrente è
J
t
(
k
)
=
q
2
[
1
−
k
^
k
^
]
⋅
v
2
exp
(
−
i
k
⋅
r
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}
Si verifica facilmente che
k
⋅
J
t
(
k
)
=
0
,
{\displaystyle \mathbf {k} \cdot \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=0,}
che deve essere vera se la divergenza della corrente trasversale è zero. Si vede che
J
t
(
k
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)}
è la componente perpendicolare a
k
{\displaystyle \mathbf {k} }
Dall'equazione del potenziale vettore, la sua trasformata di Fourier è
A
(
k
)
=
4
π
c
q
2
k
2
[
1
−
k
^
k
^
]
⋅
v
2
exp
(
−
i
k
⋅
r
2
)
{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)}
dove si è tenuto l'ordine minore in
v
/
c
{\displaystyle v/c}
La trasformata inversa del potenziale vettore è
A
(
r
)
=
∫
d
3
k
(
2
π
)
3
A
(
k
)
exp
(
i
k
⋅
r
1
)
=
q
2
2
c
1
r
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}
dove
r
=
r
1
−
r
2
{\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}
Il termine d'interazione di Darwin nella Lagrangiana è quindi
L
D
=
q
1
q
2
r
1
2
c
2
v
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
v
2
{\displaystyle L_{\rm {D}}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}
dove ancora si è tenuto solo l'ordine minore in
v
/
c
{\displaystyle v/c}
Equazioni del moto lagrangiane
modifica
Hamiltoniana per due particelle nel vuoto
modifica
L'Hamiltoniana di Darwin per due particelle nel vuoto è collegata alla Lagrangiana tramite una trasformata di Legendre
H
=
p
1
⋅
v
1
+
p
2
⋅
v
2
−
L
.
{\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {v} _{2}-L.}
L'Hamiltoniana diventa
H
(
r
1
,
p
1
,
r
2
,
p
2
)
=
(
1
−
1
4
p
1
2
m
1
2
c
2
)
p
1
2
2
m
1
+
(
1
−
1
4
p
2
2
m
2
2
c
2
)
p
2
2
2
m
2
+
q
1
q
2
r
−
q
1
q
2
r
1
2
m
1
m
2
c
2
p
1
⋅
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
p
2
.
{\displaystyle H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{1 \over 4}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){p_{1}^{2} \over 2m_{1}}\;+\;\left(1-{1 \over 4}{p_{2}^{2} \over m_{2}^{2}c^{2}}\right){p_{2}^{2} \over 2m_{2}}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r}\;-\;{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.}
Equazioni del moto hamiltoniane
modifica
Le equazioni del moto hamiltoniane sono
v
1
=
∂
H
∂
p
1
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\partial H \over \partial \mathbf {p} _{1}}}
e
d
p
1
d
t
=
−
∇
1
H
,
{\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}=-\nabla _{1}H,}
che portano a
v
1
=
(
1
−
1
2
p
1
2
m
1
2
c
2
)
p
1
m
1
−
q
1
q
2
2
m
1
m
2
c
2
1
r
[
1
+
r
^
r
^
]
⋅
p
2
{\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}}
e
d
p
1
d
t
=
q
1
q
2
r
2
r
^
+
q
1
q
2
r
2
1
2
m
1
m
2
c
2
{
p
1
(
r
^
⋅
p
2
)
+
p
2
(
r
^
⋅
p
1
)
−
r
^
[
p
1
⋅
(
1
+
3
r
^
r
^
)
⋅
p
2
]
}
{\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}}
Da notare che l'equazione di Breit della meccanica quantistica originariamente utilizzò l'Hamiltoniana di Darwin come punto di partenza classico, sebbene l'equazione di Breit fu meglio giustificata dalla teoria assorbitore-emettitore di Wheeler-Feynman e in modo migliore dall'elettrodinamica quantistica .
^ Jackson, John D., Classical Electrodynamics (3rd ed.) , Wiley, 1998, pp. 596-598, ISBN 047130932X . ^ Jackson, pp. 580-581.
^ Jackson, p. 242.
![{\displaystyle L_{\text{D}}={\frac {q_{1}q_{2}}{r}}{\frac {1}{2c^{2}}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee0f5dea1682ecf793aae34d164f43e013e6a149)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{t}\left(\mathbf {k} \right)=q_{2}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54bbcb51b24acf5cf1ecc738c09527b21aceb326)
![{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)={4\pi \over c}{q_{2} \over k^{2}}\left[\mathbf {1} -\mathbf {\hat {k}} \mathbf {\hat {k}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\exp \left(-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{2}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4688c86845a3e08090c4404a8dc6653669ae662)
![{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} \right)=\int {d^{3}k \over \left(2\pi \right)^{3}}\;\mathbf {A} \left(\mathbf {k} \right)\;{\exp \left(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} _{1}\right)}={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71bdae60fef0cfa569c862b5f6917611ad6b5c3f)
![{\displaystyle L_{\rm {D}}={q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3acbf879237a9100485446a9c0e34be2870dddde)
![{\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc0b93c930a3c9b257573dbdb94d05eb271d5475)
![{\displaystyle {d \over dt}\left[\left(1+{1 \over 2}{v_{1}^{2} \over c^{2}}\right)m_{1}\mathbf {v} _{1}+{q_{1} \over c}\mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)\right]=-\nabla {q_{1}q_{2} \over r}+\nabla \left[{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2c^{2}}\mathbf {v} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/498340053a667194ec6fed86e57eae6bfe37034f)
![{\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}+{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2c^{2}}\left\{\mathbf {v} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{2}}\right)+\mathbf {v} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {v} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {v} _{2}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d2535f38d56cd9759fa46cfce4435afa799f6f87)
![{\displaystyle \mathbf {A} \left(\mathbf {r} _{1}\right)={q_{2} \over 2c}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {v} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2366a68c1ae7868c979ce7c50309e71eadcb22c6)
![{\displaystyle H\left(\mathbf {r} _{1},\mathbf {p} _{1},\mathbf {r} _{2},\mathbf {p} _{2}\right)=\left(1-{1 \over 4}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){p_{1}^{2} \over 2m_{1}}\;+\;\left(1-{1 \over 4}{p_{2}^{2} \over m_{2}^{2}c^{2}}\right){p_{2}^{2} \over 2m_{2}}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r}\;-\;{q_{1}q_{2} \over r}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\mathbf {p} _{1}\cdot \left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/459c78783351bd91e16d96d5d0e5bb9327682eb8)
![{\displaystyle \mathbf {v} _{1}=\left(1-{1 \over 2}{p_{1}^{2} \over m_{1}^{2}c^{2}}\right){\mathbf {p} _{1} \over m_{1}}-{q_{1}q_{2} \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}{1 \over r}\left[\mathbf {1} +\mathbf {\hat {r}} \mathbf {\hat {r}} \right]\cdot \mathbf {p} _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dfe867f8bc2b62e4c349c54dbf60bf7cc860cc4)
![{\displaystyle {d\mathbf {p} _{1} \over dt}={q_{1}q_{2} \over r^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}\;+\;{q_{1}q_{2} \over r^{2}}{1 \over 2m_{1}m_{2}c^{2}}\left\{\mathbf {p} _{1}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{2}}\right)+\mathbf {p} _{2}\left({{\hat {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {p} _{1}}\right)-{\hat {\mathbf {r} }}\left[\mathbf {p} _{1}\cdot \left(\mathbf {1} +3{\hat {\mathbf {r} }}{\hat {\mathbf {r} }}\right)\cdot \mathbf {p} _{2}\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dcd1c0062fa1cb24cf150e295099220c644f5f6)
