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Si consideri una funzione , disegnata in rosso, e la retta tangente alla funzione nel punto , in blu. La retta tangente, con pendenza , interseca l'asse verticale in , con il valore della trasformata di Legendre .

In matematica, la trasformata di Legendre o trasformazione di Legendre, il cui nome è dovuto a Adrien-Marie Legendre, è un procedimento che trasforma una funzione convessa a valori reali di variabile reale in un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata della funzione di partenza.

La trasformata di Legendre è un'involuzione, ovvero è una funzione che è l'inversa di sé stessa.[1]

Indice

DefinizioneModifica

La trasformata di Legendre   di una funzione convessa reale   è data da:

 

Nel caso   sia differenziabile la trasformata   può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse   di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza  .[2] Per calcolare l'estremante di   rispetto a  , che è il punto   per cui è massima la distanza tra la funzione e la retta  , se ne pone la derivata nulla:

 

sicché il valore massimo si verifica quando:

 

Nel caso   si ha:

 

e il vettore   coincide con il gradiente:

 

Scrivendo   in funzione di   e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:

 

dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da  . La trasformata di Legendre trasforma   in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata   invece che da  .[3]

Funzione generatriceModifica

Un modo di scrivere esplicitamente   si ottiene differenziando la funzione  :

 

Introducendo la funzione ausiliaria   si ha:

 

essendo  . Si ha pertanto:

 

La funzione ausiliaria   si chiama generatrice.

In generale, si dimostra che se   e   allora  , dove   è la soluzione di  . Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.

Definizione alternativaModifica

La trasformata di Legendre   di   può anche essere definita come la trasformazione tale che la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto   l'operatore di derivazione:

 

Infatti, derivando   rispetto a   si ha:

 

Pertanto, valgono le relazioni:

 

dove le funzioni   e   sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:

 

Funzioni di più variabiliModifica

Si consideri   il cui differenziale sia dato da:

 

Per costruire una funzione che dipenda da   e   (invece che   e  ) si definisce  . Differenziando:

 

da cui:

 

La funzione   è il risultato della trasformazione di Legendre di   in cui la variabile indipendente   è stata rimpiazzata da  .

EsempioModifica

Ad esempio, nel caso in cui   si ottiene che:

 

e quindi:

 

Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:

 

e semplificando:

 

da cui:

 

Trasformazione in una dimensioneModifica

In una dimensione la trasformazione di Legendre di   può essere valutata con la formula:

 

Per mostrare ciò si considera la definizione:

 

Integrando entrambi i membri da   a  , utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale nel membro a sinistra e sostituendo nel termine a destra:

 

si ha:

 

con:

 

Integrando per parti:

 

e quindi:

 

Dal momento che il termine a sinistra dipende solo da   e quello di destra solo da  :

 

Risolvendo per   e scegliendo   si ottiene la relazione iniziale.

HamiltonianaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Meccanica hamiltoniana ed Equazioni di Hamilton.

In analisi funzionale l'hamiltoniana   è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema  , con:

 

Nel caso di sistemi a un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, il differenziale di   si scrive:

 

da cui:

 

Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a  , cioè dipendente da:

 

Se si pone  , sapendo che il differenziale di  , dipendente da   e  , è:

 

uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton:

 

dove   e   sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

Funzioni termodinamicheModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di stato.

Per il primo principio della termodinamica si ha:

 

e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:

 

Sostituendo:

 

Assumendo come variabili libere (o naturali)   e  , cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare  :

 

da cui:

 

Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:

 

Ora si può operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.

 
 
 
 
 
 

Riassumendo si ha:

 
 

NoteModifica

  1. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 63.
  2. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 62.
  3. ^ V. I. Arnol'd, Pag. 61.

BibliografiaModifica

  • (EN) Vladimir Igorevich Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd Edition, Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3.
  • Corrado Mencuccini, Vittorio Silvestrini, Fisica I - Meccanica e Termodinamica, 3rd Edition, Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0.
  • (EN) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, paperback republication of 1970, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-01586-4.

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