Trasformata di Legendre

In analisi funzionale, il funzionale di Legendre o trasformazione di Legendre, è un funzionale involuzione che fu definito da Adrien-Marie Legendre. La funzione risultato si chiama di solito trasformata, come per le trasformate integrali di Laplace, Fourier, ecc. Consente un importante cambiamento di variabile per funzioni dotate di alcune proprietà. Il funzionale è l'inverso di sé stesso

Visualizzazione tipo metodo del punto fisso. Una funzione , (colore rosso), ha una retta tangente nel punto (colore blu). Questa tangente ha pendenza , e interseca l'asse verticale in . è il valore che ha nel punto x la trasformata di Legendre si f. Variando il punto x varia la trasformata g(x) che è legata al valore di f(x), e della sua derivata f'(x).

È molto importante in termodinamica: le funzioni energia (energia interna, entalpia, energia libera di Gibbs) sono infatti legate tra loro da trasformazioni di Legendre.

L'argomento del funzionale di Legendre è una funzione convessa a valori reali di variabile reale, e il risultato è un'altra funzione convessa dipendente esplicitamente dalla derivata dell'argomento.[1]

DefinizioneModifica

La trasformata di Legendre   di una funzione convessa reale   è data da:

 

Nel caso   sia differenziabile la trasformata   può essere vista come il valore cambiato di segno dell'intercetta sull'asse   di una particolare retta tangente alla funzione, quella di pendenza  .[2] Per calcolare l'estremante di   rispetto a  , che è il punto   per cui è massima la distanza tra la funzione e la retta  , se ne pone la derivata nulla:

 

sicché il valore massimo si verifica quando:

 

Nel caso   si ha:

 

e il vettore   coincide con il gradiente:

 

Scrivendo   in funzione di   e inserendolo nella derivata si ottiene una definizione operativa:

 

dove nella relazione a destra si è esplicitata la dipendenza della trasformata da  . La trasformata di Legendre trasforma   in un'altra funzione dipendente esplicitamente dalla derivata   invece che da  .[3]

Funzione generatriceModifica

Un modo di scrivere esplicitamente   si ottiene differenziando la funzione  :

 

Introducendo la funzione ausiliaria   si ha:

 

essendo  . Si ha pertanto:

 

La funzione ausiliaria   si chiama generatrice.

In generale, si dimostra che se   e   allora  , dove   è la soluzione di  . Questo risultato consente di mostrare che la trasformata di Legendre applicata a una funzione convessa produce un'altra funzione convessa.

Definizione alternativaModifica

La trasformata di Legendre   di   può anche essere definita come la trasformazione tale che la sua derivata prima e la derivata della funzione sono una la funzione inversa dell'altra. Detto   l'operatore di derivazione:

 

Infatti, derivando   rispetto a   si ha:

 

Pertanto, valgono le relazioni:

 

dove le funzioni   e   sono univocamente determinate a meno di una costante additiva, solitamente fissata con l'ulteriore condizione:

 

Funzioni di più variabiliModifica

Si consideri   il cui differenziale sia dato da:

 

Per costruire una funzione che dipenda da   e   (invece che   e  ) si definisce  . Differenziando:

 

da cui:

 

La funzione   è il risultato della trasformazione di Legendre di   in cui la variabile indipendente   è stata rimpiazzata da  .

EsempioModifica

Ad esempio, nel caso in cui   si ottiene che:

 

e quindi:

 

Con procedimento formale, invece, servendosi della generatrice in questo caso si ha:

 

e semplificando:

 

da cui:

 

Trasformazione in una dimensioneModifica

In una dimensione la trasformazione di Legendre di   può essere valutata con la formula:

 

Per mostrare ciò si considera la definizione:

 

Integrando entrambi i membri da   a  , utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale nel membro a sinistra e sostituendo nel termine a destra:

 

si ha:

 

con:

 

Integrando per parti:

 

e quindi:

 

Dal momento che il termine a sinistra dipende solo da   e quello di destra solo da  :

 

Risolvendo per   e scegliendo   si ottiene la relazione iniziale.

HamiltonianaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Meccanica hamiltoniana ed Equazioni di Hamilton.

In analisi funzionale l'hamiltoniana   è data dalla trasformata di Legendre della lagrangiana del sistema  , con:

 

Nel caso di sistemi a un grado di libertà (un'unica coordinata lagrangiana), e ricordando le equazioni di Eulero-Lagrange, il differenziale di   si scrive:

 

da cui:

 

Si è trasformata in questo modo la lagrangiana in un'altra equazione dipendente esplicitamente dalla sua derivata rispetto a  , cioè dipendente da:

 

Se si pone  , sapendo che il differenziale di  , dipendente da   e  , è:

 

uguagliando i membri si ottengono le equazioni di Hamilton:

 

dove   e   sono le sue variabili canoniche hamiltoniane. Si procede analogamente nel caso di n coordinate lagrangiane.

Funzioni termodinamicheModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Funzione di stato.

Per il primo principio della termodinamica si ha:

 

e per la definizione di entropia, in condizioni quasistatiche reversibili:

 

Sostituendo:

 

Assumendo come variabili libere (o naturali)   e  , cioè esprimendo ogni altra funzione di stato in funzione di queste due (sufficienti a descrivere lo stato del sistema), si procede nel differenziare  :

 

da cui:

 

Usando il teorema di Schwartz si ricava la seguente relazione, detta equazione di Maxwell:

 

Ora si può operare delle trasformate (non standard) di Legendre sull'energia interna per ottenere altre funzioni termodinamiche e altre utili relazioni sulle varie grandezze di volta in volta derivate o tenute costanti. I calcoli sono assolutamente analoghi agli esempi precedenti a patto di cambiare di volta in volta le variabili libere del sistema.

 
 
 
 
 
 

Riassumendo si ha:

 
 

NoteModifica

  1. ^ Arnol'd, pag. 63.
  2. ^ Arnol'd, pag. 62.
  3. ^ Arnol'd, pag. 61.

BibliografiaModifica

  • (EN) Vladimir Igorevich Arnol'd, Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2ª ed., Springer, 1989, ISBN 0-387-96890-3.
  • Corrado Mencuccini e Vittorio Silvestrini, Fisica I - Meccanica e Termodinamica, 3ª ed., Napoli, Liguori Editore, 1996, ISBN 88-207-1493-0.
  • (EN) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, ristampa del 1970, Princeton University Press, 1996, ISBN 0-691-01586-4.

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